曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案

1第一章量子力学的诞生1.11.11.11.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，⎩⎨⎧∞=axaxxxV0,0,0,)(试用dedededeBroglieBroglieBroglieBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2⋯=⋅=nnaλna/2=∴λ（1）又据deBroglie关系λ/hp=（2）而能量()⋯ℏℏ,3,2,12422/2/2222222222==⋅===nmanamnhmmpEπλ（3）1.21.21.21.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有()∫==⋅⋯,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx=⋅2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/=∴,同理可得，bhnpyy2/=,chnpzz2/=,⋯,3,2,1,,=zyxnnn粒子能量⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=++=222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyxℏπ⋯,3,2,1,,=zyxnnn1.31.31.31.3设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxVω=中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp−===⋅∫⋯)(xV2解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax≤（1）其中a由下式决定：2221)(xmxVEaxω===。a−0ax由此得2/2ωmEa=，（2）ax±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa==⋅=−=−=⋅∫∫∫+−+−2222222222)21(22πωπωωω得ωωπmnmnhaℏ22==（3）代入（2），解出⋯ℏ,3,2,1,==nnEnω（4）积分公式：cauauauduua++−=−∫arcsin22222221.41.41.41.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20⋯==∫nnhdpπϕϕϕp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2ϕ=。解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。它的角动量.ϕϕIp=（广义动量），ϕp是运动惯量。按量子化条件⋯,3,2,1,220===∫mmhpdxpϕπϕπmhp=∴ϕ，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222ℏ==ϕ，⋯,3,2,1=m第二章波函数与SchrSchrSchrSchröööödingerdingerdingerdinger方程2.12.12.12.1设质量为m的粒子在势场)(rV�中运动。（aaaa）证明粒子的能量平均值为wrdE⋅=∫3，ψψψψVmw**22+∇=ℏ（能量密度）（bbbb）证明能量守恒公式0=⋅∇+∂∂stw�3⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇∂∂+∇∂∂−=**22ψψψψttmsℏ�（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）VTrdVmE+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−=∫322*2ψψℏ（1）∫=ψψVrdV*3（势能平均值）（2）()()()[]∫∫∇⋅∇−∇⋅∇−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇−=ψψψψψψ**3222*32)(2rdmmrdTℏℏ其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此ψψ∇⋅∇=∫*322rdmTℏ（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψVmw+∇⋅∇=ℏ（4）且能量平均值∫⋅=wrdE3。（bbbb）由（4）式，得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⋅−∇=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−+⋅−∇=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇+∇−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇+∇⋅∇=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇+∇⋅∇=∂∂*..**22.22.*.*.**2.2.**..*2.*.*.*.*22222ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψEsVmVmsVVmVVmtw�ℏℏ�ℏℏρtEs∂∂+⋅−∇=�（ρ：几率密度）s�⋅−∇=（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂stw�。2.22.22.22.2考虑单粒子的SchrSchrSchrSchröööödingerdingerdingerdinger方程4()()()()[]()trriVrVtrmtrti,,2,2122����ℏ�ℏψψψ++∇−=∂∂（1）1V与2V为实函数。（aaaa）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（bbbb）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为()∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=ττψψψψψψψψ*32***322rdVSdimrddtdSℏ�ℏ证：（a）式（1）取复共轭，得()*21*22*2ψψψiVVmti−+∇−=∂∂−ℏℏ（2）×*ψ（1）-×ψ（2）,得()()()ψψψψψψψψψψψψψψ*2**22**22*2*2222iVmVimti+∇−∇⋅∇−=+∇−∇−=∂∂ℏℏℏ()()()ψψψψψψψψ*2***22ℏℏVimt+∇−∇⋅∇−=∂∂∴（3）即022≠=⋅∇+∂∂ρρℏ�Vjt，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积τ积分，得()()()()ψψψψψψψψψψψψψψττττ*23***233***32222rVdSdimrVdrdimrdtS∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=+∇−∇⋅∇−=∂∂ℏ�ℏℏℏ上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（Sdj��⋅−=∫∫），而第二项代表体积τ中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.32.32.32.3设1ψ和2ψ是SchrSchrSchrSchröööödingerdingerdingerdinger方程的两个解，证明()()0,,2*13=∫trtrrddtd��ψψ。证：12212ψψ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−=∂∂Vmtiℏℏ∵（1）522222ψψ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−=∂∂Vmtiℏℏ（2）取（1）之复共轭：*122*12ψψ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−=∂∂−Vmtiℏℏ（3）×2ψ（3）×−*1ψ（2）,得()()22*1*12222*12ψψψψψψ∇−∇−=∂∂−mtiℏℏ对全空间积分：()()[]∫∫∇−∇−=−22*1*122322*132,,ψψψψψψrdmtrtrrddtdiℏ��ℏ()()()()()[]∫∇⋅∇+∇⋅∇−∇−∇⋅∇−=2*1*122*1*12322ψψψψψψψψrdmℏ()[]∫∇−∇⋅∇−=2*1*12322ψψψψrdmℏ()022*1*122=⋅∇−∇−=∫Sdm�ℏψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ）即()()0,,.2*13=∫trtrrddtdψψ。2.4）设一维自由粒子的初态()ℏ/00,xipex=ψ，求()tx,ψ。解：()ℏ/2200,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=tmpxpietxψ2.52.52.52.5设一维自由粒子的初态()()xxδψ=0,，求()2,txψ。提示：利用积分公式()()2sincos22πξξξξ==∫∫+∞∞−+∞∞−dd或[][]4expexp2ππξξidi=∫+∞∞−。解：作Fourier变换：()()∫+∞∞−=dpepxipxℏℏϕπψ210,，()()ℏℏℏℏℏπδπϕπϕ21)(210,21===∫∫+∞∞−−+∞∞−−dxexdxexpipxipx，6()()()∫+∞∞−−=∴dpeptxEtpxiℏℏ/21,ϕπψ（mpE22=）∫∞+∞−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=dpepxtmpi2221ℏℏπ（指数配方）∫+∞∞−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=dptmxpmitetimx222exp212ℏℏℏπ令222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=tmxpmtℏξ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅⋅=⋅=−+∞∞−−∫42exp2221221,24/22222ππππξπψπξtmxitmeetmdetmetxitimxitimxℏℏℏℏℏℏℏℏ()tmtxℏπψ2,2=。2.62.62.62.6设一维自由粒子的初态为()0,xψ，证明在足够长时间后，()[]⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−=tmxtimxitmtxℏℏℏϕπψ2exp4exp,2式中()()∫+∞∞−−=dxexkikx0,21ψπϕ是()0,xψ的FourierFourierFourierFourier变换。提示：利用()xeexiiδπααπα=−∞→24/lim。证：根据平面波的时间变化规律()tkxiikxeeω−→，mkE22ℏℏ==ω，任意时刻的波函数为()()()dkektxmtkkxi2/221,ℏ−+∞∞−∫=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅=∫∞+∞−22/2exp212tmxkmtikdketimxℏℏℏϕπ（1）当时间足够长后（所谓∞→t），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取7mt2ℏ=α，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=tmxkuℏ，（2）参照本题的解题提示，即得()()∫+∞∞−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅≈kdtmxkketmetxitimxℏℏℏδϕππψπ4/2221,2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−tmxeetmtimxiℏℏℏϕπ2/4/2（3）()22,⎟⎠⎞⎜⎝⎛≈tmxtmtxℏℏϕψ（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxkℏ=，即mktxℏ=，强度()2kϕ∝，因子tmℏ描述整个波包的扩散，波包强度t12∝ψ。设整个波包中最强的动量成分为0kℏ，即0kk=时()2kϕ最大，由（4）式可见，当t足够大以后，2ϕ的最大值出现在0ktmx=ℏ处，即mtkx0ℏ=处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k。2.72.72.72.7写出动量表象中的不含时SchrSchrSchrSchröööödingerdingerdingerdinger方程。解：经典能量方程()rVmpE�+=22。在动量表象中，只要作变换pp→，dpdirℏ�→所以在动量表象中，Schrödinger为：()()pEpdpdiVmpψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ℏ22。第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞=其余区域,0,0),(axyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如ba=，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mEyxnn222πℏ=2222bnanyx+⋯,2,1,,sinsin2==yxyxnnnnbynaxnabyxππψ8若ba=，则)(222222yxnnnnmaEyx+=πℏaynaxnayxnnyxππψsinsin2=这时，若yxnn=，则能级不简并;若yxnn≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==yxnn与2,11''==yxnn）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞=其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如cba==，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cnbnanmnnnEzyxzyx++=πℏ,⋯,3,2,1,,,sinsinsin8==zyxzyxnnncznbynaxnabcnnnzyxπππψ当cba==时，)(2222222zyxnnnmannnEzyx++=πℏaynaynaxnannnzyxzyxπππψsinsinsin223⎟⎠⎞⎜⎝⎛=zyxnnn==时，能级不简并；zyxnnn,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。zyxnnn,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(1