场论-标量场的梯度--矢量场的散度和旋度

普通物理II:数学准备(矢量代数);BA;BA;BABA矢量运算:场:1，Gauss定理，Stokes定理;2，Helmholtz定理算符和标量场的梯度,矢量场的散度和旋度:);(rV);(rA)(rA场的定义,描述和类型我们教室范围内存在哪些可以定义的不同物理量?引力加速度;温度;热流;气流速度场;空气密度;音量;气压;亮度;发现陈老师的概率;我的位置;电场强度;磁场强度;湿度;……定义在时间,空间坐标上的物理量函数.---场的定义是对一种实际存在的一种抽象.数学分类:矢量场和标量场张量场(经典场论中不涉及)物理上如何分类？场的定义和类型场:定义在空间和时间坐标上的一个物理量(函数).气压分布温度分布每点上只有物理量的大小每点上不但有大小,而且有方向),,()(zyxr空间坐标x,y,z的标量函数空间坐标x,y,z的矢量函数31),,()(iiiezyxArA),,,(),(tzyxtr31),,,(),(iiietzyxAtrA标量场矢量场洋流流速气流流速场的按照源来分类•任何物理的存在都有存在的原因--物理量的源头.•有源场:发射源/吸收源,旋转源.•无源场(非物理的),均匀场.有源有旋,有源无旋,无源有旋,无旋无源场场和源之间是通过各种场方程来联系的.矢量场的例子(a)有发射源(Source)的场(b)有漏(Sink)或有吸收源的场(c)旋转(Circulation)场Videosarefrom:MITonlineOpenCourseResources麦克斯韦方程组0EtBE0B02jtEBc0E0E0B02jBc静电学方程静磁学方程有源无旋场无源有旋场电场:有源-有旋场磁场:无源-有旋场场的例子Sink+SourceSource+SourceSinkorSourceCirculation2*Circulations(samesenses)2*Circulation(oppositesenses)场的例子SinkorSourceCirculationSource+CirculationQuestions:Sink+Sink;Sink+constantfield;Circulation+constantF.;Circulation+Sink,…,manyothercombinations.以下物质和场可以相互作用吗?•电荷与地球的引力场•静止/运动的电荷与静/变化的磁场•静止的磁针与静/变化的电场一般的不带电又没有磁性的物体能不能和电磁场发生作用?标量场的描述气压分布温度分布1，每条线上的物理量数值相同–等高线/等势线（面，3D）2，用颜色的深浅来描述数值的大小。相同颜色的轮廓上的物理量数值相同—与等势线类似.线越密/轮廓越窄的地方物理量变化率越大。矢量场的描述1，一组箭头来表示，箭头的大小和方向是矢量场的值2，把箭头的首尾相连，得到场线。线在每个点与场的方向相切，场线的密度与场矢量的大小成正比。洋流流速气流流速普通物理II:数学准备(矢量代数);BA;BA;BABA矢量运算:场:1，Gauss定理，Stokes定理;2，Helmholtz定理算符和标量场的梯度,矢量场的散度和旋度:);(rV);(rA)(rA场的定义,描述和类型(自学)zdzzyyxxdTydyzyxxdTxdxzyxdTPTPT),,(),,(),,()()(12zzzyyxxTyyzyxxTxxzyxTPT),,(),,(),,()(1...)(),,(),,(),,()(1yxOzzzyxTyyzyxTxxzyxTPTyxdxzyxdfzyxfyzyxxfyyzyxxT]),,(),,([),,(),,()(),,(yxOyyzyxT标量场的梯度RTT不依赖于方向的选择,是标量场在此点的独特性质.R321ezTeyTexTT)cos(RTRTT固定时,沿着梯度方向移动变化最大.RT)(321ezeyexR1)(exTxT多元函数的梯度:21),(eyTexTyxTnnnexTexTexTxxxT...),...,,(221121Del算子TzeyexeTzyx)(zeyexezyx具有矢量的特征为了简化物理公式的数学表述.ˆˆˆˆˆˆgradxyzxyzxyzxyz梯度(Gradient)1.是一个矢量2.标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率.任意方向的方向导数是梯度在这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。lrlr)()(梯度(Gradient)定理积分结果与路径无关。通量与散度,散度(高斯)定理Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem矢量场的通量(Fluxofavectorfield)矢量场的通量定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。SdSASSAd在直角坐标系中，通量可以写成dxdyAdzdxAdydzAdSAzySxSψ通过闭合面S的通量的物理意义：a)若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的发射源；0ψb)若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负电荷就是接受电力线的吸收源；0ψc)若，闭合面无源。0ψ散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义及特点：1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；表示矢量场在一点处的流入或流出的大小2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间位置的函数；VSVΔdlimdiv0ΔSAA1、定义：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即发射源／吸收源的体密度0divA0divA0divA发射源／正源吸收源／负源无源),,(zyxxyz'ˆQnQnˆA'AQQ’通过右边的面通过左边的面zxQAdxdzAdsnAyQyQQ)(zxQAdxdzAdsnAyQyQQ)'('''yyAQAyyAzyxAzyyxAQAyyyyyy)(),,(),,()'(右+左VyAzyxyAyy上+下VzAzyxzAzz前+后VxAzyxxAxx),,(zyyx)ˆ('yQen)ˆ(yQenVzAyAxATotalFluxzyx)(散度DivergenceofavectorfieldVSVΔdlimdiv0ΔSAA直角坐标系中散度的表示散度可用算符Del表示为zzyyxxˆˆˆAAdivzAyAxAVzyxSVΔdlimdiv0ΔSAA1ˆn'AQ’所有公用的面的积分相互抵消iiiSSVAdsnAdsnAiˆˆVSdVAdsnAˆ高斯定理SS1S2SS1221ˆˆˆSSSdsnAdsnAdsnA1211ˆˆˆSSSldsnAdsnAdsnA2ˆnSrSlSdsnAdsnAdsnAˆˆˆ1222ˆˆˆSSSrdsnAdsnAdsnAVdsAAdv上式称为散度定理,也称为高斯定理。散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小,因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。散度定理：高斯定理的物理意义：矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为环量与旋度,斯托克斯定理circulation,Curl,TheStokes’stheorem环量CirculationofavectorfieldLldAdzAdyAdxAzyLx在直角坐标系中，环流可以写成为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度,或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。旋度的定义和运算1、定义：SLΔdlimˆc0ΔSlAnurl(A)旋度的物理意义1)矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。2)它描述A在该点处的旋涡源强度。3)若某区域中各点curlA=0,称A为无旋场或保守场。),,(zyxxy1lA'AyAxAyAxAldAyxyxL)4()3()2()1(yyAAzyyxAAxxxx)1(),,()3(2l3l4lxxAAzyxxAAyyyy)4(),,()2(yxyAxAldAxyL)(SAyxAnzˆ)()()();(;;4321yxyxeylexleylexlA的旋度可表示为Ｄｅｌ算子与A的矢量积,即curlAAyAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyxˆˆˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆˆˆˆxyzxyzAxyzAAA因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理。意义：从数学角度可以认为stokes定理建立了线积分和面积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域Ｓ中的场和包围区域Ｓ的闭合线Ｌ上的场之间的关系。如果已知区域Ｓ中的场，根据高斯定理即可求出边界Ｌ上的场，反之亦然。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheoremSdSnAldAˆ)(一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为