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考纲要求考纲研读1.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．2．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义.1.古典概型的概率等于所求事件中所含的基本事件数与总的基本事件数的比值．2.几何概型的关键之处在于将概率问题转化为长度，面积或体积之比.1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有_______．有限个(2)每一个试验结果(基本事件)出现的可能性______．我们把具有以上这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．2．古典概型的计算公式对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率为P(A)＝___.相等mnP(A)＝3．几何概型的定义长度体积如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(____或_____)成比例，则这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型．4．几何概型的特点无限不可数(1)试验的结果是_______________的．(2)每个结果出现的可能性_____．5．几何概型的概率公式构成事件A的区域长度(面积或体积)区域的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).面积相等1．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是()A.14B.12C.23D.34解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2,3,4或3,4,5或2,4,5，故P＝34，故选D.D2．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是()A.512B.12C.712D.56解析：连续抛掷两次骰子共有基本事件6×6＝36个，a，b的夹角θ∈0，π2的充要条件为a·b＝m－n≥0，而m≥n包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为2136＝712.C3．如图15－2－1，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()A.23B.43C.83D.103解析：设阴影部分面积为S，则S22＝23，则S＝83.C图15－2－1考点1古典概型例1：先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y24x的概率．解析：(1)∵每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为6×6＝36(个)．记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}．∴P(A)＝536.(2)记“点P(x，y)满足y24x”为事件B，则事件B有17个基本事件：当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1,2；当x＝3时，y＝1,2,3；当x＝4时，y＝1,2,3；当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝6时，y＝1,2,3,4.∴P(B)＝1736.计算古典概型事件的概率可分为三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.【互动探究】1．(2011年广东揭阳二模)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y≥－1内(含边界)的概率．解：(1)集合M的所有元素有(－2，－1)，(－2,1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，(2,1)共6个．记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2.所以P(A)＝26＝13.(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件B.则基本事件总数为6.图D39由图D39知位于区域D内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个，即B包含的基本事件数为4.故P(B)＝46＝23.考点2几何概型例2：(2011年广东珠海模拟节选)甲、乙两人约定上午9点至12点在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内如对方不来，则离去．如果他们二人在9点到12点之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率．解析：设甲到达时间为x，乙到达时间为y，取点Q(x，y)，则0x3,0y3.两人见到面的充要条件是：|x－y|1.如图D38，其概率是：P＝32－2·12·2232＝59.图D38几何概型的关键在于构造出随机事件A所对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于坐标系的点，便可构造出度量区域．【互动探究】2．在区间[－1,1]上随机取一个数x，cosπx2的值介于0到12之间的概率为()A.13B.2πC.12D.23解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，要使cosπx2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx2≤－π3或π3≤πx2≤π2，∴－1≤x≤－23或23≤x≤1，区间长度为23，由几何概型知cosπx2的值介于0到12之间的概率为232＝13.A3.(2011年广东广州执信中学三模)已知两实数x，y满足0≤x≤2,1≤y≤3.(1)若x，y∈N，求使不等式2x－y＋20成立的概率；(2)若x，y∈R，求使不等式2x－y＋20不成立的概率．解析：(1)设“使不等式2x－y＋20成立”为事件A.因为x，y∈N，(x，y)可有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9种情况．事件A有(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7种可能．则P(A)＝79.所以使不等式2x－y＋20成立的概率为79.考点3两种概型的综合运用(2)设“使不等式2x－y＋20不成立”也即“使不等式2x－y＋2≤0成立”为事件B，因为x∈[0,2]，y∈[1,3]，所以(x，y)对应的区域边长为2的正方形(如图D40)，且面积为Ω＝4.2x－y＋2≤0，对应的区域是如图D40阴影部分．图D40设其面积为S，则S＝12×1×12＝14.则P(B)＝SΩ＝144＝116.故使不等式2x－y＋20不成立的概率为116.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．对于古典概型问题，处理基本事件的数量是关键，而对于几何概型中的概率问题转化为长度、面积或体积之比是关键．1．区分古典概型与几何概型．2．古典概型中的基本事件的数量容易计算出，如果能直接列出时，要注意书写时避免重复和遗漏，有时候也利用排列组合的相关知识来解决基本事件的数量．3处理古典概型的难点一方面在于从题目中提取几何概型的模型，另一方面在于计算方面，这点有时候会与定积分结合起来考查．爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”其实，世上最温暖的语言，“不是我爱你，而是在一起。”所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！