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四年级奥数详解答案第23讲第二十三讲页码问题一、知识概要页码是指书本每一页（面）上所标注的数目。（这里的“页”不是指书中的一张纸，而是指一张纸的一面）。页码问题主要是研究编一本书的页码，一共需要多少个数码，以及知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书页数。典型的页码问题有如下三类（最基本的）：（1）算页码中所用数字个数的和，或是根据已知的页码中所用数字个数的和来求页码。（2）计算页码中某个数字出现的项数。（3）计算页码中所有数字的和。解决页码问题的基本方法是：分段（或分类或分组）计算。页码个数与组成页码的数码个数之间的关系，如下表所示。个数所用数码（个）自首页起所需数码总数一位数999二位数90180189三位数90027002899四位数90003600038889二、典型题目精讲1、一本故事书共180页，需多少个数码编页码？解：数码是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字，页码就是由每页上由数码组成的数目。所以，1～9页有9个数码；10—99页有180个数码；100～180页有81×3=243（个）数码。一共有9＋180＋243=432（个）2、有一本辞典，所编页码共用了3401个数码，这本辞典一共有________页。解：①1～9页用9个数码；10—99页用了180个数码；100～999用了2700个数码；则1～999页共用数码9＋180＋2700=2889（个）。②1000～？页共用数码（3401－2889）=512（个）；则512÷4=128（页）。故这本辞典共有999＋128=1127（页）3、一本漫画共121页，在这本书的页码中数字一共出现了_______次。解：（分类计算）①在个位上，1出现13次（即1，11，21……101，111，121）；②在十位上，1出现20次（即10，11，12……19；110，111，112……119）；③在百位上，1出现22次（即100，101，102，……121）。综合①②③可知，1在书的页码中共出现（13＋20＋22）=55（次）。4、一本书共200页，求页码中全部数字的和。（）解：（分组计算）将0～199分为100组，即0和199，1和198，2和197，……98和101，99和100.这样，每组的4个数字之和都是19，100组数字之和是19×100=1900，再加上“200”这三数之和为2，故200页中全部数字之和为1900＋2=1902。5、一本书的页码从1～120页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果所得的和是7200，这个被漏加的页码是几？解：因为1～120累加起来是（1＋120）×120÷2=7260，而因漏加页码结果是7200，所以7260＋7200=60（页），这60页即为漏加页码。6、一本书共有139页，求页码中全部数字的和。（）解：（分段/分组计算），0～99为一段；100～139为一段。第一段（0～99），可分为（0，99），（1，98）……（49，50）共50组；∵每组数字之和为18，∴18×50=900（50组之和）。第二段（100～139），可分为（100，139），（101，138），……（119，120），共20组，∵每组数字之和为14，∴20组之和为14×20=280。综合上述情况，可得页码中全部数字的和为900＋280=1180。7、一本字典共有1235页，求页码中全部数字的和。（）解：（分段、分组计算），把1～1236分为2段后再分组计算。第一段（0～999）分为500组，即（0，999），（1，998），（2，997），……（499，500）；∵每组数字和为27，∴500组数字之和为27×500=13500第二段（1000～1239）分为120组，即（1000，1239），（1001，1238），……（1119，1120）；∵每组数字之和是16，∴120组数字之和为16×120=1920。因为1236～1239页码中的数字之和为（1＋2＋3）×4＋6＋7＋8＋9=54，在这二段中多计算了，所以，综合上述情况，这本字典页码中全部数字之和为13500＋1920－54=15366。三、练习巩固与拓展1、一本书共有340页，在这本书的页码中共用了_________个数字。2、一本科普读物，在排牌时共用了972个数码，这本书共有_________页。3、一本书有256页，在这本书页码中，数字2和0各出现了多少次？4、一本数学书共有268页，这本书排牌共需多少个数码？5、有一本书，数字“6在页码中出现了23次，这本书最少有_________页。6、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：12345678910111213……在这个大数的左起500位上的数字是_________。7、一本书的页码从1至200，共有200页。在把这本书的各每页页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次，结果所得的和为20195。求这个被多加了一次的页码是_____。8、有一本80页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，结果能得到偶数吗？为什么？9、有一本96页的书，中间缺了一张，小丽将残书的页码相加，得到4741。小丽的计算正确吗？为什么？10、一本书的页码中，一共用了60个0，这本书有_________页。11、在一本书中，数码1一共出现了145次，这本书有_________页。12、一本书有197页，求这本书页码中所有数字的和。13、一本书有169页，这本书页码中所有数字的和是_________。14、一本辞典有1255页，这本书页码中所有数字的和是_________。15、把一本书的页码，从10开始，按照从小到大的顺序依次排列，写成一个1000位数，即101112131415……，这个数的个位上的数字是_________。16、一本书有500页，在这本书的500个页码中，不含数字0和1的页码有多少个？第二十三讲练习巩固与拓展答案1、解：1×9＋2×（99－9）＋3×（340－99）=1×9＋2×90＋3×242=9＋180＋723=912（个）答：共用了912个数字。2、解：1×9＋2×90=189（个）99＋（972－189）÷3=99＋783÷3=360（页）答：这本书有360页。3、解：256÷10=25……6（1）（25＋1）＋10×3＋57=113（次）（2）25＋10×2=45（次）答：数字2出现了113次，数字0出现了45次。4、解：1×9＋2×90＋3×（268－100＋1）=9＋180＋507=696（个）答：这本书排版共需696个数码。5、解：提示：如果是100页，那么数字“6”在个位出现100÷10=10（次），在十位上出现100÷100×10=10（次）。而题中已知数字“6”出现了23次。所以再往下数106，116，126，数字“6”又出现了3次，共为23次，又因为题中要求这本书最少有多少页，由此可得最少页数为126页。6、解：提示:这道题类似于将500个数码排成多少页的页码。因为（500－189）÷3=103……2，所以500个数码排列到99＋103=202（页）还余两个码，按顺序排下去应是第203页，余数是2，即为203页的第2个数码0。所以这道题左起第500位上的数字是0。7、解：（1＋200）×200÷2=201×200÷2=2010020195－20100=95所以，被多加了一次的页码是95。8、解：不得到偶数。因为这本书中间缺了一张，一张上写有两个页码，而这两个页码又是相邻的自然数，所以缺的这两个页码的和为奇数，又因为一本80页的书将有页码加起来的所得的和是偶数，那么偶数－奇数=奇数。所以残书的页码相加所得的和不能是偶数。9、解：小丽的计算是错误的。因为96页的书所有页码数之和为：1＋2＋……＋95＋96=（1＋96）×96÷2=4656按照小丽的计算，中间缺的一张上两个码的和应该是4656－4571=85。这两个页码应该是42页和43页，而我们知道按照印刷的规定，书的正文从第1页起，都是第1页在正面，第2页在反面……由此可得任何一张上的两个数码都是奇数在前，偶数在后。而小丽计算出的缺42页和43页都是偶数在前，奇数在后，所以我们可小丽的计算是错误的。10、解：先算出300页书的页码中出现的0个数。个位上：300÷10=30（个）十位上：10×2＋1=21（个）30＋21=51（个）60－51=9（个）从301页至309页0正好用了9个，而310页又用了1个0。所以，这本书有209页。11、解：先算出200页书的页码中出现1的次数。个位上：200÷10=20（次）十位上：10×2=20（次）百位上：100次200＋20＋100=140（次）145-140=5（次）从201页至212页,1正好出现5次,而213页又出现了1次，所以这本书有212页。12、解：可将0至199分组,即(0，199)，（1，198）（2，197）……（99，100），共100组。（1＋9＋9）×100－[（1＋9）×2＋8＋9]=1900－37=186313、解：应按0～99和100～169分组。（9＋9）×50＋（1＋1＋6＋9）×35=900＋595=149514、解：应按0～999和1000～1259分组。（9＋9＋9）×500＋（1＋1＋2＋5＋9）×130－[（1＋2＋5）×4＋6＋7＋8＋9]=13500＋2340－62=1577815、解：（1000－180）÷3=273……199＋273=372因为余数是1，所以这个数的个位上的数字是3。16、解：采用分段计算的方法算出500个页码中，不含数字0和1的个数。（1）1～9：有8个。（2）10～99：应去掉10～19的10个，20～99的2×8=16（个）这样就有90－10－16=64（个）（3）100～500：应去掉100～199的100个，200～299的10×2＋2×8=36（个），300～399的39（个）。这样就有401－100－36×3－1=192（个）。所以500个页码中，不含数字0和1的个数是：8＋64＋192=264（个）