集合与函数复习

集合的含义集合间的基本关系集合基本关系集合列举法描述法Venn图包含相等交集并集补集全集集合表示方法及集合中元素的特性【点拨】常用的集合表示方法有列举法、描述法和图示法，有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法．描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素，如：A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的函数值，A为值域；B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的自变量的取值，B为定义域；C＝{(x，y)|y＝2x＋3}中的元素为方程y＝2x＋3的解，也可以看作函数y＝2x＋3图象上的点，C是解集或点集．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于()A．(0,1)，(1,2)B．{(0,1)，(1,2)}C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}[思维点击]解答本题首先要分清集合中的代表元素，然后求出其取值范围，再求交集．[规范解答]正确理解描述法是解题的关键．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}，∴选D.答案：D1．(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝______；(2)集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4C∅练习．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P等于()A．(1，－1)B．{x＝1或y＝1}C．{1，－1}D．{(1，－1)}[答案]D集合的关系及运算【点拨】集合间的关系及运算是集合的核心，解决此类问题，应从元素入手，弄清元素与集合、集合与集合之间的关系，对于含有参数的问题经常进行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合来解决．练习.设集合},412|{ZkkxxM，},214|{ZkkxxN，则（）A.NMB.MNC.NMD.NMB集合相等的考查[例2]设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若集合A、B相等，求实数x、y的值．[解析]因为A、B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.练习、若3∈{m－1,3m，m2－1}，则m＝________.[解析]由m－1＝3，得m＝4；由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去；由m2－1＝3，得m＝±2.经检验，m＝4或m＝±2满足集合中元素的互异性．4或±226010m,B{|},{|},AxxxBxmxA已知集合求使例3.02131mmm或或分类讨论的思想[例4]已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．[解析](1)∵1是A的元素∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a＝－3，∴方程即为－3x2＋2x＋1＝0，∴x1＝1，x2＝－13，∴集合A中的其他元素为－13.[例4]已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．(2)若a＝0，方程化为2x＋1＝0，此时有且仅有一个根x＝－12；若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，∴所求集合B＝{0,1}；[例4]已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．[例4]已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．D.已知集合，集合M∩P＝{0}，若M∪P＝S.则集合S的真子集个数是（）（A）8（B）7（C）16（D）15aM，12，，Z021xxxxP[例5]设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．[解析]A＝{－4,0}1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，∴a＜－1，3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，经验证a＝－1时，B＝{0}满足．综上所述a＝1或a≤－1.已知集合A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|2ax≤a＋1，a1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[规范解答]∵a1，∴2aa＋1.∴B≠∅.在数轴上表示集合A，B如图所示．由B⊆A知，a＋1－1或2a≥1，即a－2或a≥12.又∵a1，∴a－2或12≤a1.故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪12，1.例6[例7]若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，当B⊆A时，求实数m的取值范围．解:当B＝Ø时，2m－1m＋1，∴m2；当B≠Ø时，由题意，得2m－1≥－3，m＋1≤4，2m－1≤m＋1.解得－1≤m≤2.∴所求m的范围是m≥－1.[例8]已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是()A．1或2B．2或4C．2D．1[正解]C∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．例9．已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|k－1≤x≤2k＋1}，求使A∩B＝∅的实数k的取值范围．解析：当B＝∅，即k－12k＋1时，k－2；当B≠∅时，由A∩B＝∅，得2k＋1－2，k－1≤2k＋1或k－15，k－1≤2k＋1.解得－2≤k－32或k6.综上所述，k的取值范围为kk－32或k6.练习．设集合M＝{x|－1≤x2}，N＝{x|x－k≤0}，若M∩N≠Ø，则k的取值范围是()A．k≤2B．k≥－1C．k－1D．－1k≤2B[解析]在数轴上表示集合M，N如图所示．由图可知，k≥－1.集合运算在实际问题中的应用[例10]高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？[分析]借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数．用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)函数函数的概念函数的基本性质映射函数的表示法函数的单调性函数的奇偶性定义域值域对应法则列表法图象法解析法函数及其性质复习课1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.xxyy,1B.1,112xyxxyC.33,xyxyD.2)(|,|xyxy2.函数0(1)xyxx的定义域是____________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆C,03．下列图象中，不是函数图象的是（）()A()B()C()D()A()B()C()D()yfxxa函数的图象与直线的交点个数为（）必有一个一个或两个至多一个可能两个以上4.返回5．y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域是()A．(5,9)B．[5,9]C．{5,7,9}D．{5,6,7,8,9}[答案]C6．设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x0，若f(α)＝4，则实数α＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析：当α≤0时，f(α)＝－α＝4得α＝－4；当α0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2∴α＝－4或2.B例1.求下列函数的定义域：xxxxfxxxf1-2132)()2(2)1()(10）（)2,0()0,23)[2(),1()1,2)(1(求函数的定义域例2.（1）已知f(x)的定义域是[-1,1]，则f(2x-1)的定义域是_________；[0，1][-1，1]∴f(2x-1)的定义域是[0，1]；解：∵f(2x-1)的定义域是[0,1]，即0≤x≤1，∴-1≤2x-1≤1，∴f(x)的定义域是[-1，1].令t=2x-1，解（1）∵f(x)的定义域是[-1,1]，∴-1≤2x-1≤1，即0≤x≤1.（2）已知f(2x-1)的定义域是[0,1]，则f(x)的定义域是_________.则f(t)的定义域是[-1，1].注意：练习：即2≤x≤3，∴0≤x2-4≤5，[例3]已知函数f(x)＝x＋2x≤－1x2－1x22xx≥2，若f(x)＝3，则x的值为()A．1B．1或32C．±3D.3[解析]若x≤－1时，x＋2＝3，∴x＝1，与x≤－1矛盾；若－1x2，则x2＝3，∴x＝±3，由－1x2得x＝3；若x≥2，则2x＝3，∴x＝32，与x≥2矛盾．因此选D.[例4]已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．[解析]可设f(x)＝ax＋b，(a≠0)则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴a2＝4，ab＋b＝3，解得a＝2，b＝1，或a＝－2，b＝－3.故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.求函数的解析式例5.已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称轴为x＝2，求其解析式．[解析]因为抛物线的对称轴为x＝2，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k(a≠0)．把(0，－5)、(5,0)分别代入上式得－5＝4a＋k0＝9a＋k，解得a＝1k＝－9，所以解析式为y＝(x－2)2－9.2．求二次函数解析式时，(1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设分解式，f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．[例6](1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．(2)解法1：(换元法)：设t＝x＋1，∵只有x≥0，t才有意义，∴t≥1，此时t－1＝x，∴x＝(t－1)2，于是f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)．将t用x代换，有f(x)＝x2－1(x≥1)．[解析](1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1.解法2：(配凑法)：由