2014届高考数学一轮复习课件：第八章第6课时双曲线(新人教A版)

第6课时双曲线2014高考导航考纲展示备考指南了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.1.双曲线的定义，标准方程及几何性质是命题的热点.2.题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度中等偏低，解答题很少考查直线与双曲线的位置关系，但个别省份也偶有考查.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点F1，F2的距离的____________等于常数2a.②2a_____|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是F1，F2，焦距是________.差的绝对值＜|F1F2|思考探究当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围_____________________________________x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：__________对称轴：x轴，y轴对称中心：坐标原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点坐标(±c,0)(0，±c)坐标原点标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质渐近线__________y＝±abx离心率e＝______，e∈____________实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的半实轴长，b叫作双曲线的半虚轴长a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)y＝±baxca(1，＋∞)2a3.等轴双曲线_____________等长的双曲线叫作等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝_____，渐近线方程为________.实轴与虚轴2y＝±x课前热身1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42答案：C2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解析：选A.∵e＝ca＝2，c＝4，∴a＝2，b2＝c2－a2＝12.∴双曲线方程为x24－y212＝1.3．(2012·高考湖南卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1解析：选A.∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得，a＝25，b＝5，故应选A.4．两个正数a，b的等差中项是52，等比中项是6，且ab，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝________.解析：a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又ab，∴a＝3，b＝2，∴c＝13，从而e＝ca＝133.答案：1335．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程为________．解析：以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而AB－AC＝610，故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x29－y216＝1(x3)．答案：x29－y216＝1(x3)考点探究讲练互动例1考点突破考点1双曲线的定义(2012·高考辽宁卷)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【解析】设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x＞0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝3－1，x＋2＝3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝23.【答案】23【归律小结】(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．跟踪训练1．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48解析：选C.由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24.例2考点2求双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线过点P(6，2)；(2)与椭圆x247＋y222＝1有公共焦点，且离心率e＝54的双曲线．【解】(1)法一：由双曲线的渐近线方程为y＝±23x，可设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(6，2)，∴69－44＝λ，∴λ＝－13.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±23x，可设双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．∵双曲线过点P(6，2)，∴m0，n0.又渐近线的斜率k＝±23，∴6m－4n＝1，－n－m＝23，得m＝－3，n＝－43.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)法一：设所求双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，则c2＝47－22，ca＝54，∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线方程为x216－y29＝1.法二：与椭圆x247＋y222＝1有公共焦点的双曲线方程可设为x247－λ＋y222－λ＝1(22λ47)．故a2＝47－λ，b2＝λ－22，∴c2＝a2＋b2＝25.又∵e＝54，∴c2a2＝2516.故2547－λ＝2516，∴47－λ＝16，∴λ＝31.∴双曲线方程为x216－y29＝1.【方法提练】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．跟踪训练2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.例3考点3双曲线的几何性质(1)(2012·高考浙江卷)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C.3D.2(2)(2012·高考天津卷)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与双曲线C2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，半焦距为c1，则椭圆的离心率为e1＝c1a.设双曲线的标准方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，半焦距为c2，则双曲线的离心率为e2＝c2m.由双曲线与椭圆共焦点知c1＝c2.由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，即2m＝a.∴e2e1＝c2mc1a＝am＝2.(2)与双曲线x24－y216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x24－y216＝λ，即x24λ－y216λ＝1.由题意知c＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a2＝1，b2＝4.又a＞0，b＞0，故a＝1，b＝2.【答案】(1)B(2)12【题后感悟】根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解，求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．跟踪训练3．(1)(2013·石家庄模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±52xC．y＝±12xD．y＝±6x(2)(2013·东北四校联考)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为()A.32B．2C.2D.3解析：(1)选C.设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．∵e＝ca＝5，c＝a2＋b2，∴a2＋b2a2＝1＋ba2＝5，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±abx＝±12x，故选C.(2)选B.如图所示，△AMF为等腰直角三角形，|AF|为|AB|的一半，|AF|＝b2a.而|MF|＝a＋c，由题意可得，a＋c＝b2a，即a2＋ac＝b2＝c2－a2，即c2－ac－2a2＝0.两边同时除以a2可得，e2－e－2＝0，解之得，e＝2.考点4与双曲线有关的综合问题过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作双曲线的斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左，右两支相交于点A，B.(1)求证：点P在直线x＝a2c上；(2)求双曲线的离心率e的取值范围．例4【解】(1)证明：设双曲线的右焦点为F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为y＝bax.则l的方程为y＝－ab(x－c)，从而点P坐标为a2c，abc.因此点P在直线x＝a2c上．(2)由y＝－abx－c，x2a2－y2b2＝1，消去y得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.∵A，B两点分别在双曲线左，右两支上，设A，B两点横坐标分别为xA，xB.由b4－a4≠0且xAxB0，即－a2a2c2＋b4b4－a40，得b2a2，即b2a21，∴e＝1＋b2a22.故e的取值范围为(2，＋∞)．【题后感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．跟踪训练4．过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．解：(1)由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2