简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题[学习目标]1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件y≤2，x＋y≥1，x－y≤1，则z＝3x＋y的最大值为()A．12B．11C．3D．－1答案B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由y＝2，x－y＝1⇒x＝3，y＝2，此时z＝3x＋y＝11.跟踪训练1(1)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1(2)若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．答案(1)D(2)1解析(1)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝3x＋y，即y＝－3x＋z过点(0,1)时z取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题例2设实数x，y满足约束条件x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，求(1)x2＋y2的最小值；(2)yx的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为x＋2y－4＝0，y＝2x的解，即45，85，又由x＋2y－4＝0，2y－3＝0，得C1，32，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋322＝132，所以，x2＋y2的最小值为134.(2)令v＝yx，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝y－0x－0.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C1，32，所以vmax＝32，所以yx的最大值为32.跟踪训练2已知x，y满足约束条件x≥0，y≥0，x＋y≥1，则(x＋3)2＋y2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤2000，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.由50x＋20y＝2000，y＝x，解得x＝2007，y＝2007，所以A点的坐标为2007，2007.由50x＋20y＝2000，y＝1.5x，解得x＝25，y＝752，所以B点的坐标为25，752.所以满足条件的可行域是以A2007，2007，B25，752，O(0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B25，752，但注意到x∈N*，y∈N*，故取x＝25，y＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．22．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，x∈N*，y∈N*，则z＝10x＋10y的最大值是()A．80B．85C．90D．953．已知实数x，y满足y≤1，x≤1，x＋y≥1，则z＝x2＋y2的最小值为________．一、选择题1．若点(x,y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为()A．－6B．－2C．0D．22．设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0C.43D．43．实数x，y满足x≥1，y≥0，x－y≥0，则z＝y－1x的取值范围是()A．[－1,0]B．(－∞，0]C．[－1，＋∞)D．[－1,1)4．若满足条件x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为()A．－3B．－2C．－1D．05．已知x，y满足x≥1，x＋y≤4，x＋by＋c≤0，目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A．－1,4B．－1，－3C．－2，－1D．－1，－26．已知x，y满足约束条件x＋y≥5，x－y＋5≥0，x≤3，使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为()A．－3B．3C．－1D．1二、填空题7．若x，y满足约束条件x≤2，y≤2，x＋y≥2，则z＝x＋2y的取值范围是________．8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为________．10．满足|x|＋|y|≤2的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，2x－y－5≤0，x＋y－4≥0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．三、解答题12．已知x，y满足约束条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．13．设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．14．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与112，92最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.3．答案12解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案D解析作出可行域，如图所示．联立x＋y－4＝0，x－3y＋4＝0，解得