同济大学高等数学第六版上册总复习PPT

期末考试上高等数学)(00:1000:8)(141:上午周五日月考试时间:考前答疑时间45:800:615:430:1121晚上下午周三日月.105:教室致远楼地点45:800:615:430:1131晚上下午周四日月），（换元0xext解tex令dxdtdtdyy则,1tyxdxdtyxyxyttt112),(12ttyyx代入原方程得ttteyyy22(1)xtln)0(22xxxyxyy求)1(xdxdt,tyyx,2tttyyyxxyyxyxxxyxyy2222齐次方程的通解)(21tCCeYtttteyyy22,1是二重特征根ttetCexy)(Q2*特解2)(Qt2)(Qtt取tety2*特解的通解：方程ttteyyy22).lnln(221xxCCxy.)(221ttettCCey)ln,(xtext的通解方程xxyxyy22(1)1sinlim0xxx(2)exxx)11(limexxx10)1(lim1、两个重要极限0)(.1)()(sinlim:0)(xuxuxuxu应用exuxuxu)(10)())(1(lim:应用等价无穷小替换.limlim,lim~,~则存在且设,~则limlimlimlim或应用(如果下列各极限存在)1.若0lim.2c若cc~~cclimlimlimlim或则常用的等价无穷小替换01ln1arctantanarcsinsin~xxxexxxxx2~cos12xxxx~1)1(1、连续的定义二函数的连续性)()(lim00xfxfxx2、单侧连续)()()(lim000xfxfxfxx左连续)()()(lim000xfxfxfxx右连续.)()(00既左连续又右连续处在是函数处连续在函数xxfxxf定理初等函数在其定义区间内都是连续的.可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x3、间断点的分类定理1(最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.Mmab2x1xxyo)(xfyMfxfmax)(2mfxfmin)(1推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.三闭区间上连续函数的性质定理2(零点定理)那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),即至少有一点(实根))(ba，使得0)(f.ab321xyo)(xfy定理3(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，并且不是常数,函数的最大最小值分别为:那末，对于m与M之间的任意一个数C，,)(maxMxfbxa,)(minmxfbxa在ba,内至少存在一点，使得Cf)()(ba.MCmab1232x1xxyo)(xfy求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数第二章导数与微分xxfxxfxfxlim0.1xfxfxf可导)()()(.200xoxAxfxxfy：若微分xxfxxfxfxlim0左导数xxfxxfxfxlim0右导数xAdy，xxfyxx00)(记可微在点则称函数dxxfdy)()()(0xfxxf可微的充要条件是函数在点函数定理充分必要关系：).(,00xfAx且处可导在点有极限连续可导可微x函数f高阶导数.3的莱布尼兹公式阶导数公式的nxxvxunxxxxax1,ln,cos,sin,,22,0,dxyddxdyyx：F求导数由方程4.(1)隐函数求导法则.,,22dxyddxdyx解出求导两边对dxdfxfdxxfdnnnn)1()()()(阶导数的函数nxf)((2)参数函数求导法则)(xyytytx)()(ttdxdydxdtttdtddxyd))()((22.)()()()()(3ttttt应用.5，ts是直线运动的位移函数2:3近似计算，xyxfyxf的变化率关于自变量变量是函数导数1。xfy的切线斜率在几何上是曲线是它的则tvts。tatstv，是它的加速度函数而速度函数,0点可导在xxf00000xdfxfxxfxfxxf或00000xdfxxfxfxxfxf则有洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1gf取对数令gfy单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用第三章中值定理和导数的应用(1)费马(Fermat)引理,,000xfxfxfxf，xU或若上在00xf则0x00xf1、中值定理，xf存在0(2)、罗尔中值定理ab12xyo)(xfyC如果函数)(xf(1)在闭区间],[ba上连续,(3)在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，(2)在开区间),(ba内可导,即0)('f(3)、拉格朗日中值定理如果函数)(xf(1)在闭区间],[ba上连续,(2)在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式abafbff)()()(或))(()()('abfafbf成立.ab12xoy)(xfyABCD).(fab)a(f)b(f(4)、柯西中值定理(1)如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,(2)在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfbFaFbfaf成立.均不为零，2、洛必达法则型未定式型及00.10型未定式000,1,0,,0.2.)()(lim)()(limxFxfxFxfxxxgxfxgxf1limlim型00101000000型通分)lim(xgxf型00,1,0ln01ln0ln01000取对数.0xgxflimxfxglnlim:1型另有重要极限的方法对于euuu11lim0)(ln)(limxfxge如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具3、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间与在其中xxxxnfxRnnn有直到)1(n阶的导数,则当x在),(ba内时,200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn))((00nxx皮亚诺形式的余项常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin121253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx).(0!!212nnxxnxxxe2!2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm)(1112nnxoxxxxNm导数的应用.),(],[)(内可导上连续，在在设函数babaxfy1函数单调性的判定法，内如果在0)(),(20xfba，内如果在0)(),(10xfba上单调增加；在那末函数],[)(baxfy.],[)(上单调减少在那末函数baxfy内具有在上连续在如果),(,,)(babaxf,二阶导数内若在),(ba;,)(,0)()1(上的图形是凹的在则baxfxf.,)(,0)()2(上的图形是凸的在则baxfxf连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,2.曲线的凹凸与拐点极大值oxyoxy0x0x极小值3.函数的极值及其求法设)(xf在点0x处具有导数,定理1(必要条件)且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,定理2(第一充分条件)有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.设)(xf在0x处具有二阶导数,定理3(第二充分条件)且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.,)(连续设xf步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,注意:如果区间内只有一个极值,4.最大值、最小值问题实际问题求最值:1)建立目标函数;2)求最值:点，则该点的若目标函数只有唯一驻（或最小）值．函数值即为所求的最大那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;则这个极值就是最值(最大值或最小值).弧微分.10..20曲率.)1(1232yyk5弧微分曲率曲率圆2322)(2k.12dxydstytx对于参数曲线2.22dttdsxfy对于直角坐标曲线1,)1(1232yyk曲率半经*0.3曲率圆2220201)()(Ryyxx,yyyxx201,yyyy201:曲率圆圆心积分法原函数基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第四章不定积分1、原函数与不定积分称为)(xf或dxxf)(的原函数.存在定理连续函数一定有原函数．)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就不定积分，CxFdxxf)()(．运算性质)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(2、基本积分表xdxxtansec)3(Cxsecxdxxcotcsc)4(Cxcscxdx2cos)1(xdx2secCxtanxdx2sin)2(xdx2cscCxcotCxxxdxt