同济高数下9_7方向导数与梯度

目录上页下页返回结束第九章第七节一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度目录上页下页返回结束l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxff0lim则称lflf为函数在点P处沿方向l的方向导数.),,(),,(lim0zyxfzzyyxxf在点),,(zyxP处沿方向l(方向角为,,)存在下列极限:P记作目录上页下页返回结束,),,(),,(处可微在点若函数zyxPzyxf),,(zyxPl定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,flf0limcoscoscoszfyfxflf证明:由函数),,(zyxf)(ozzfyyfxxff且有)(o在点P可微,得P故coscoscoszfyfxf目录上页下页返回结束对于二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyxxflf特别:•当l与x轴同向有时,2,0βα•当l与x轴反向有时,2,βαxflf向角PlxyOl目录上页下页返回结束例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.Plu1422zyx1432yx解:向量l的方向余弦为目录上页下页返回结束例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xx它在点P的切向量为,171cos1760xOy2P12xyxx)4,1(174cos1目录上页下页返回结束例3.设是曲面n在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而PxuPnu同理得)1,3,2(2方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866在点P处沿求函数nn目录上页下页返回结束二、梯度方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,,)cos,cos,(cosl,方向一致时与当Gl:GGlfmax目录上页下页返回结束1.定义),(Pfadrg即同样可定义二元函数),(yxP称为函数f(P)在点P处的梯度)(,)(,)(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度G说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量),(Pf或其中称为向量微分算子或Nabla算子.leflfgrad(为方向l上的单位向量)lezfyfxfG,,目录上页下页返回结束2.梯度的几何意义Oyx1cf2cf)(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数f的等值线或等高线.,,不同时为零设yxff则L*上点P处的法向量为Pyxff),(Pfgrad3cf,),(yxfz对函数举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为Pfgrad称为时为零时,Pf.Pf目录上页下页返回结束例4.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为0)1(0)1()1(2zyx032yx在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面2),,(zyxf(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfP)0,1,2()(Pfn思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多)(Pf目录上页下页返回结束3.梯度的基本运算公式ucucgradgrad)((2)uvvuvugradgradgrad)((4)ucuc)(或uvvuvu)(或目录上页下页返回结束例5.证:)(rfyrf)()(rfgradrzrfzrf)()(222zyxxPxOzy,)(ryrf试证rxrf)(处矢径r的模,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rerf)(目录上页下页返回结束三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场)(Pfgrad(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.目录上页下页返回结束例6.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点),(π4222zyxrrqu试证证:利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugrad)π4(2rerεqE场强rerquπ4gradrerq2π4Ererfrf)()(grad目录上页下页返回结束内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角),,为的方向导数为coscoscoszfyfxflf•二元函数在点),的方向导数为coscosyfxflf沿方向l(方向角为目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为zfyfxfff,,grad•二元函数在点处的梯度为)),(,),((yxfyxfffyxgrad3.关系方向导数存在偏导数存在••可微leflfgrad梯度在方向l上的投影.方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点目录上页下页返回结束练习42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyaxP130题16提示:P1072，3，6，7，8，9，10作业第八节目录上页下页返回结束备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性)2,2,1(92)2,2,1(92(1992考研)目录上页下页返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数)ln(22zyxu提示:其单位向量为)cos,cos,(cos)1ln(x)11ln(2y(1996考研)2121