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第28讲创新型、探索型问题的解法高考命题中的创新型与探索型问题对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高层次的考查，同时考查学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等各方面的能力；学生在经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程是新课标理念的最佳载体，因此在近几年来的高考中经常出现，在2013年高考复习中应倍加注意，并进行针对性训练．高考真题考题1(2012福建)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1，3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f(x1＋x2＋x3＋x44)≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②④D．③④【解析】选D.①由关系式f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]无法推出函数是否连续，不正确；②特殊函数法，f(x)＝－x在[1，3]上具有性质P，而f(x2)＝－x2显然不具备性质P，不正确；③在[1，3]中任取一个数x(1≤x≤3)，另一个数4－x同样也落在[1，3]内，∵f(2)＝1＝fmax(x)．又f(x＋4－x2)≤12[f(x)＋f(4－x)]即f(x)＋f(4－x)≥2∵f(x)≤1，f(4－x)≤1∴f(x)＝1，f(4－x)＝1正确；④f(x1＋x2＋x3＋x44)＝f(x1＋x22＋x3＋x422)≤12[f(x1＋x22)＋f(x3＋x42)]≤14[f(x1)＋f(x2)]＋14[f(x3)＋f(x4)]＝14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]正确．【命题立意】本题以高等数学的凹函数为依托融于初等数学知识中，考查学生的逻辑推理能力和处理新问题的应变能力．考题2(2012江西)若函数h(x)满足：①h(0)＝1，h(1)＝0；②对任意a∈[0，1]，有h(h(a))＝a；③在(0，1)上单调递减．则称h(x)为补函数．已知函数h(x)＝(1－xp1＋λxp)1p(λ－1，p0)．(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；(2)若存在m∈[0，1]，使得h(m)＝m，称m是函数h(x)的中介元，记p＝1n(n∈N＋)时h(x)的中介元为xn，且Sn＝i＝1nxi，若对任意的n∈N＋，都有Sn12，求λ的取值范围；(3)当λ＝0，x∈(0，1)时，函数y＝h(x)的图象总在直线y＝1－x的上方，求p的取值范围．【解析】(1)函数h(x)是补函数．证明如下：①h(0)＝(1－01＋0)1p＝1，h(1)＝(1－11＋λ)1p＝0；②对任意a∈[0，1]，有h(h(a))＝h((1－ap1＋λap)1p)＝(1－1－ap1＋λap1＋λ1－ap1＋λap)1p＝(（1＋λ）ap1＋λ)1p＝a；③令g(x)＝(h(x))p＝1－xp1＋λxp，有g′(x)＝－pxp－1（1＋λxp）－（1－xp）λpxp－1（1＋λxp）2＝－p（1＋λ）xp－1（1＋λxp）2.因为λ－1，p0，所以当x∈(0，1)时，g′(x)0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，故函数h(x)在(0，1)上单调递减．(2)当p＝1n(n∈N＋)，由h(x)＝x，得：λx2n＋2x1n－1＝0(*)①当λ＝0时，中介元xn＝(12)n；②当λ－1且λ≠0时，由(*)得x1n＝11＋λ＋1∈(0，1)或x1n＝11－1＋λ∉[0，1]；得中介元xn＝(11＋λ＋1)n.综合①②：对任意的λ－1，中介元为xn＝(11＋λ＋1)n(n∈N＋)，于是，当λ－1时，有Sn＝i＝1n(11＋λ＋1)i＝11＋λ(1－(11＋λ＋1)n)11＋λ，当n无限增大时，(11＋λ＋1)n无限接近于0，Sn无限接近于11＋λ，故对任意的n∈N＋，Sn12成立等价于11＋λ≤12，即λ∈[3，＋∞)．(3)当λ＝0时，h(x)＝(1－xp)1p，中介元为xp＝(12)1p，①当0p≤1时，1p≥1，中介元为xp＝(12)1p≤12，所以点(xp，h(xp))不在直线y＝1－x的上方，不符合条件；②当p1时，依题意只需(1－xp)1p1－x在x∈(0，1)时恒成立，即xp＋(1－x)p1在x∈(0，1)时恒成立，设φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈[0，1]，则φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]，则由φ′(x)＝0得x＝12，且当x∈(0，12)时，φ′(x)0，当x∈(12，1)时，φ′(x)0.又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x∈(0，1)时，φ(x)1恒成立．综上，p的取值范围是(1，＋∞)．【命题立意】(1)对于信息迁移题，认真读懂新信息是关键，然后再运用新信息去解决新的问题；(2)不等式恒成立问题常转化为函数的最值或上、下界问题，然后再利用导数求最值或上、下确界的值．1．创新型问题包括开放型问题、定义信息型问题和类比归纳型问题．(1)开放型创新题：是指问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖、解题方法灵活、知识覆盖面宽、问题结论开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路．(2)定义信息型创新题：命题特点是给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决．求解此类问题通常分三个步骤进行：(1)对新知识进行信息提取，确定化归方向；(2)对从新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；(3)对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．(3)类比归纳型创新题：类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例、若干特殊现象中递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般性规律的一种思考问题的方法．2．探究型问题一般可分为探求结论型、探求条件型、探求存在型、探求规律型四类型．(1)探求结论型问题：给出了条件，结论不明确或开放性的问题，需要解题者探索出结论并加验证或证明．(2)探求条件型问题：给出了结论，要寻求使其成立的相应的条件，如“求……的取值范围”，“若……结论成立”等等．解答者通过分析倒推、逆向思维探求结论成立的条件．(3)探索存在型问题：即对于结论是否成立的问题．一般有肯定型、否定型和讨论型三种．关于这类题的解题思路是：先假设结论是肯定存在的，若推证合理且无矛盾，则结论成立；若推证有矛盾，则可否定结论．其中反证法在证题中起着重要的作用．(4)探求规律型：认真观察分析问题情境，运用归纳推理，类比推理探究问题的本质性的一般规律．1．新概念、新定义下的创新问题例1(2012福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤bb2－ab，ab，设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________．(1－316，0)【解析】当x≤0时，2x－1≤x－1，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，当x＞0时，2x－1＞x－1，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画图，可知当m∈(0，14)时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，其中，x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的根，则x2x3＝m，x1＝1－1＋8m4，所以x1x2x3＝－m（1＋8m－1）4，显然，该式随m的增大而减小，因此当m＝0时，(x1x2x3)max＝0；当m＝14时，(x1x2x3)min＝1－316.【点评】本题主要考查分段函数、二次函数、新定义函数等内容，考查函数与方程之间的关系，不等式的有关知识，同时考查了函数与方程思想以及学生的运算能力．2．新情境，新背景下的创新问题例2给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)∈D，则称函数y＝f(x)在D上封闭．(1)若定义域D1＝(0，1)，判断下列函数中哪些在D1上封闭，并给出推理过程：①f1(x)＝2x－1；②f2(x)＝－12x2－12x＋1；③f3(x)＝2x－1；④f4(x)＝cosx.(2)若定义域D2＝(1，2)，是否存在实数a使函数f(x)＝5x－ax＋2在D2上封闭？若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，说明理由．【解析】(1)①∵f1(12)＝0∉(0，1)∴f1(x)在D1上不封闭．②∵f2(x)＝－12(x＋12)2＋98在(0，1)是减函数∴0＝f2(1)＜f2(x)＜f2(0)＝1∴f2(x)∈(0，1)．∴f2(x)在D1上封闭．③∵f3(x)＝2x－1在(0，1)上是增函数，∴0＝f3(0)＜f3(x)＜f3(1)＝1.∴f3(x)∈(0，1)∴f3(x)在D1上封闭．④∵f4(x)＝cosx在(0，1)上是减函数∴cos1＝f4(1)＜f4(x)＜f4(0)＝1∴f4(x)∈(cos1，1)⊂(0，1)∴f4(x)在D1上封闭．(2)f(x)可变形为，f(x)＝5－a＋10x＋2假设f(x)在D2上封闭，对a＋10讨论如下：若a＋10＞0，则f(x)在(1，2)上为增函数．故应有f（1）≥1，f（2）≤2，解得a≤2a≥2∴a＝2若a＋10＝0，则f(x)＝5，与f(x)∈(1，2)不合，故舍去．若a＋10＜0，则f(x)在(1，2)上为减函数．故应有f（1）≤2，f（2）≥1，解得a≥－1a≤6无解(a＜－10)．综上可得，a＝2时，f(x)在D2上封闭．3．类比、归纳型问题例3(1)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.根据分析各式特点，则可求得m－n＋p的值为________．962【解析】观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos600°＝512·1210－1280·128＋1120·126＋116n＋14p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，联立方程组n＋p＋350＝0n＋4p＋200＝0，得n＝－400p＝50.∴m－n＋p＝962.(2)若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则此四面体的体积V＝__________________________．1/3R(S1＋S2＋S3＋S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥面积的和．【点评】归纳推理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊，求解时关键是观察分析问题的本质属性．〔备选题〕例4对于数列{un}，若存在常数M0，对任意的n∈N*，恒有|un＋1－un|＋|un－un－1|＋…＋|u2－u1|≤M，