黄金分割与斐波那契数列

第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1.黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字。德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。前者如黄金，后者如珍珠。”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：Astraightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,soisthegreatertotheless.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。其实有关“黄金分割”，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。2.黄金分割的尺规作图设线段为AB。作BD⊥AB，且，连AD。以D为圆心，DB为半径作圆弧，交ABBD21AD于E。再以A为圆心，AE为半径作圆弧，交AB于C，则。故C即为AB的黄金分割点，如图8-1所示。图8-1黄金分割点3.黄金三角形与正五边形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰的与底的长度比为黄金比。我们若以底边为一腰作一个等腰三角形，则此三角形亦为一黄金三角形，如图8-2。图中三种不同长度的线段，其中最长的线段a与次长的线段b比是黄金分割，次长的线段b与最短的线段c也是黄金比例。古希腊时代有个毕达哥拉斯为首的哲学家与数学家组织，图8-2黄金比例他们以一个在外面围上正五边形的五角星作为他们毕氏学派的标志。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星。不难发现五角星内部又隐藏着一个正五边形，画出这个五边形的对角线，就产生一个小的倒五角星形，其内部也包含一个更小的五边形，再画出它的每条对角线又可得到一个小小的五角星形……这个过程可以不断地进行下去。但最令毕氏学派对五角星形着迷的并不是它能够自我复制的特性，而是隐藏在它线条之内的“黄金比例”：所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。图8-3中任两条交叉的对角线，都被对方切成两段不等长的线段，而整段对角线与长段的比值，恰好就是长段与短段的比值。这个比值正是黄金比值。而图中的两条同顶点的对角线将另一条和他们相交的对角线黄金分割于两交点。图8-3五角星再仔细观察一下，不难发现在这五边星形中充满了大大小小的黄金三角形。其实正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金三角形。abc215ABAC黄金三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形。4.黄金矩形黄金矩形（GoldenRectangle）是长宽之比为黄金分割率的矩形。黄金矩形（ABCD）可以被分为一个正方形及一个小的黄金矩形(FDCE)如图8-4所示。这个小的黄金矩形又可以再分成一个正方形和一个更小的黄金矩形。图8-4黄金矩形5.黄金分割在各领域中的应用黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验等领域都有着广泛而重要的应用。※建筑艺术黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。还有，日常生活中我们看到的大多数门窗的宽长之比也是0.618。如图8-5：巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为0.618。※绘画及雕塑作品艺术家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，塑造出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品中都能找到它。达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形；《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形；《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。※人体美学人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的DFABEC图8-5巴林圣母院图8-6维纳斯女神辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美；于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）。分析（1）黄金点：①髋骨：头顶－足底之分割点②咽喉：头顶－肚脐之分割点③膝关节：肚脐－足底之分割点④肘关节：肩关节－中指尖之分割点⑤乳头：躯干—乳头纵轴上之分割点⑥眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点⑦鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点⑧颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点⑨左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点⑩右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律面部三庭五眼（2）黄金矩形：①躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长②面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长③鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长④唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长图8-7黄金比例的人脸⑤、⑥手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长⑦、⑧、⑨、⑩、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。※舞台表演舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。因为站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。又如芭蕾舞演员在表演时不时地掂起脚尖。这是因为虽然芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了，给人以更为优美的艺术形象。这也是为什么许多姑娘都愿意穿高跟鞋的秘密所在。※音乐音乐家发现，二胡演奏中，“千金“分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。又如：小提琴柄和琴身符合黃金比例(如图8-8）；等等。※植物界有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5∶222.5≈0.618。瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。并且叶子中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比也约为0.618。※动物界图8-8小提琴图8-10叶子在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割；又如蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。※医学医学与0.618也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。※科学实验——优选法优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献。优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法。例如，在一种试验中，温度的变化范围是0℃~10℃，我们要寻找在哪个温度时实验效果最佳。为此，可以先找出温度变化范围的黄金分割点，考察10×0.618=6.18（℃）时的试验效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）时的试验效果，比较两者，选优去劣。然后在缩小的变化范围内继续这样寻找，直至选出最佳温度。※其它方面黄金分割与日常生活的联系也十分紧密。①最美纸扇：张开角是140度的纸扇最美；②最好吃的馒头：发酵粉的量的10倍与面粉的比值是0.618；③电脑显示器长与宽比值约为1.6。（1/0.618=1.618）；④理想体重计算很接近身高×（1－0.618）；⑤普通人一天上班8小时，8×0.618=4.944，上班第5个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候；⑥地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38°—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。⑦打开地图，你会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金图8-9蝴蝶图8-11最美纸扇分割的纬度上。二、斐波那契数列1.斐波那契斐及波那契数列相关概念斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）：是中世纪最杰出的数学家，出生于意大利的比萨（Pisa）。由于父亲是位商人，长年在北非从事贸易活动，斐波那契从小就跟随穆斯林老师学习，并游历过埃及、叙利亚、希腊等国。学习了许多东方数学知识，特别是各国的算术系统。他认为“印度——阿拉伯数字”是最好的记数符号。回国后不久