反例在数学中的应用

北方民族大学学士学位论文论文题目:反例在数学中的应用反例在数学中的应用I毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名：日期：反例在数学中的应用II学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日反例在数学中的应用III反例在数学中的应用摘要高等代数和数学分析是一门很重要的基础课程，对学生的数学思想的形成和后继课程的学习都有着十分重要的意义．反例思想是数学中的重要思想，对概念的理解，命题的研究中都具有不可替代的作用．恰当地运用反例，对于正确理解概念，培养学生的逻辑思维能力，将起着十分重要的作用．本文主要通过对高等代数和数学分析的学习，列举了课本中的反例，并用举反例的方法加强了对一些基本概念和基本定理的理解．关键词：反例，高等代数，数学分析反例在数学中的应用IVApplicationofcounterexampleinMathematicsAbstractHigherAlgebraandMathematicalAnalysisareimportantbasiccourses,it'sveryimportanttotheformationofmathematicalthoughtsofstudentsandlearningofthefollowingcourses．ThecounterexampleisanimportantthoughtinMathematical,anditplaysanirreplaceableroleintheunderstandingoftheconcept,andnature．Theproperuseofcounterexamples,foracorrectunderstandingoftheconcept,anddeveloptheirlogicalthinkingability,willplayaveryimportantrole．ThispapermainlythroughthelearningofHigherAlgebraandMathematicalAnalysis,liststhecounterexamplesintextbooks,andstrengthentheunderstandingofbasicconceptsandgeometricaltheorems．KeyWords:counterexample,HigherAlgebra,MathematicalAnalysis．反例在数学中的应用V目录前言.....................................................................................................................................1第一章高等代数中的反例.................................................................................................21.1矩阵中的反例.........................................................................................................21.2多项式中的反例.....................................................................................................91.3线性空间中的反例...............................................................................................111.4线性变换中的反例...............................................................................................12第二章数学分析中的反例...............................................................................................142.1数列中的反例.......................................................................................................142.2函数中的反例.......................................................................................................162.3微商与微分中的反例...........................................................................................192.4微积分中的反例...................................................................................................212.5级数中的反例.......................................................................................................222.6偏导数与全微分中的反例...................................................................................25致谢...................................................................................................................................28参考文献.............................................................................................................................29反例在数学中的应用1前言“全等的三角形是相似的”这一命题是正确的，我们需要加以严格的证明；然而对于不正确的命题“相似的三角形一定是全等的”，那么我们就要找到两个相似但并不是全等的三角形，即举出一个反例．由此看来，对于命题来说，给出证明和构造反例是同等重要的．数学分析中包含了一套抽象且形式化的理论体系，概念难以理解，学习中容易犯一些表象的错误，比如，我们会将一些函数的特定性质通过四则运算用到另一个函数上．反例是解决此类问题最有效的方法．由于数学分析思维的严谨性，定理性质的给出一般都带有一些限制条件，这些条件是不可忽视的．恰当地使用反例，对于深入理解定理的条件，准确掌握概念的本质，可以起到无可比拟的作用．此外，反例对于数学学科的理论发展和完善也起着非常重要的作用．构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质．定理证明中，反例具有同等重要的作用，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确性．这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部分．在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例．反例在数学中的应用2第一章高等代数中的反例高等代数是数学专业的一门重要基础课程之一,为进一步学习其他后续知识奠定了基础，它包括了对多项式、矩阵、线性空间、线性变换的学习．下面列出在学习过程中遇到的需要用反例来判断命题或定理的正确性的例子．1.1矩阵中的反例矩阵是数学中应用广泛的极其重要的概念，在高等代数中，它占着十分重要的地位，它贯穿了整个高等代数的学习．下面就列出矩阵的运算以及不同性质矩阵的之间的关系所运用的反例．矩阵乘积中的反例定义1.1[1]设()iksnAa，()kjnmBb，那么矩阵()ijsmCc，其中11221nijijijinnjikkjkcabababab，称为A与B的乘积，记为CAB．1.我们知矩阵的加法满足交换律，而矩阵的乘法不适合交换律．(1)mnnsAB有意义，当ms时，nmsnBA没有意义；(2)mnnmAB和nmmnBA都有意义，当mn时，它们乘积是阶数不等的矩阵；(3)AB和BA都是n阶的．例取1121A，1112B则111123211234AB，111132122153BA故ABBA，即矩阵不适合乘法交换律．2.矩阵的乘法不满足消去律：0A，ABAC未必有BC．反例在数学中的应用3例取1111A，1111B，1111C显然0A，0ABAC而BC．3.一般情况下，()kkkABAB．例取2112A，1111B则3131AB，2313164()3131122AB，25445A，20220B，22810=108AB，所以222()ABAB故()kkkABAB并不是恒成立的．只要ABBA，就有()kkkABAB．4.定理设A和B是数域P上的两个nn矩阵，那么||||||ABAB．那么，||||||ABAB是否也成立？答案是不成立，存在反例．例n阶矩阵011A，100B||||1ABE，而||||0AB，故||||||ABAB不成立．5.n