计算流体力学FEM

Slide1南京航空航天大学航空宇航学院计算流体力学AFreesamplebackgroundfrom二次泛函数的极值理论和Ritz解法微分方程Auf（在区域Ω中）(1)A为线性微分算子AFreesamplebackgroundfrom对称算子如果在区域Ω内的任意两函数u,v满足如下内积等式则称A为对称的(,)(,)uAvvAu即uAvdvAudAFreesamplebackgroundfrom正算子和正定算子如果算子A满足如下关系，则称算子A为正的(,)0uAu即0uAud如果等号仅当时才成立，则称算子A为正定的0uAFreesamplebackgroundfrom二次泛函的极值问题假设微分方程Auf(1)如果A为对称正定算子，则二次泛函(,)2(,)JuAuufu(2)为极小时的值是微分方程(1)的解。0Auf0u(3)AFreesamplebackgroundfrom二次泛函的极值问题0u如果满足方程(3)，则由式(2)得到0(,)2(,)JuAuuAuu由于算子A是对称的，因此00(,)(,)AuuuAu证明:0uAFreesamplebackgroundfrom二次泛函的极值问题故000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)((),())(,)JuAuuAuuAuuAuuAuuAuuAuuAuuAuuuuAuuAFreesamplebackgroundfrom二次泛函的极值问题由于00((),())0Auuuu因此0JuJu是二次泛函的极小值。当Ju0u00uu时，等号成立。AFreesamplebackgroundfrom方程的第一边值问题(,)(,)ufxyxy0u式中2222AxyAFreesamplebackgroundfrom方程的第一边值问题作泛函1,,212JuuufuuudxdyfudxdyAFreesamplebackgroundfrom公式uvdxdyuvdxdyuvdxdynuvduvdxdyuvuvudxdyvdxxyynAFreesamplebackgroundfrom方程的第一边值问题式中表示区域的边界的单位外法线方向，是沿方向的偏导数。对且满足齐次的第一边值条件，则nununvu22uuuudxdydxdyxyAFreesamplebackgroundfrom方程的第一边值问题因此，Poisson方程在第一边值条件下的泛函数为222212122uuJudxdyfudxdyxyuufudxdyxy(*)AFreesamplebackgroundfrom方程的第一边值问题令22,uuauudxdyxy则式(*)可写成1(,)(,)2JuauufuAFreesamplebackgroundfrom里兹解法将函数用一组线性无关的基函数来近似，所得函数用来表示uuu;1,2,,iiucin式中重复下标表示对下标范围进行求和，如n=3，则112233uccc(*)iAFreesamplebackgroundfrom里兹解法里兹方法是确定系数，使取最小值。由于icJu1,(,)2JuAuufu将(*)式代入得1,,2,1,2,ijijjjJuAcccfijnAFreesamplebackgroundfrom里兹解法为了使取极小值，令Ju0jJuc得,,ijijAcf这是个关于的n阶线性方程组，从此方程组求得后，代入式(*)可求得近似解。icicuAFreesamplebackgroundfrom里兹解法例题常微分方程22(0)(1)0duuxdxuu边界条件AFreesamplebackgroundfrom基函数的取法选择基函数使每一个满足上述齐次边界条件且互相线性独立。通常有两种选取的方法，一种是取为一三角多项式：()ix()ixii()sin();1,2,,ixixin另一种是选为一代数多项式：i1()();1,2,,iixwxxinAFreesamplebackgroundfrom里兹解法11xxxn=1，取一次近似解111iiuxcxcxx111014320(,)2(1)(1)232310AxxxxdxxxxxdxAFreesamplebackgroundfrom里兹解法1101230(,)(1)112fxxxdxxxdx1311012c1518c15()118uxxxAFreesamplebackgroundfrom里兹解法11xxxn=2，取二次近似解211222121(1)uxcxcxcxxcxx221xxxAFreesamplebackgroundfrom里兹解法121233110201231312010520cccc12717,36941cc因此2717()(1)36941uxxxx精确解sin()sin1xuxxAFreesamplebackgroundfrom里兹解法x¼0.0440.0520.044½0.0700.0690.069¾0.0600.0520.060()ux1()ux2()uxAFreesamplebackgroundfrom研究如下微分方程Auf（在区域Ω中）（1）边界条件为Bug（在区域Γ中）（2）式中A、B为微分算子。AFreesamplebackgroundfrom将函数用一组线性无关的基函数来近似，所得函数用来表示uuu;1,2,,kkuukn(3)k式中是待定的常量，基函数的选择必须使得边界条件满足。ku将(3)式代入(1)式得误差函数0Auf这样的误差函数称为余数。对精确解。0AFreesamplebackgroundfrom我们在平均意义下使此误差为零，即取余数的加权积分等于零,0;1,2,,iwin其中是一组权函数。对的不同选择就有不同的加权余数法。iwiwAFreesamplebackgroundfrom配置点法该方法是对近似函数表达式(3)在选定的M个点处满足微分方程(1)。设选定的点为;1,2,,ixxiM则余数()()01,2,,ikkiiuAxfxiM可以证明，配置点法的权函数是脉冲函数。()ixxAFreesamplebackgroundfrom1222312(1)()226uxxuuxAufxxxuxxxu若选取1/4,1/2xx为配置点,则122935116644771482uu126/31,40/217uu(1)4240217xxuxAFreesamplebackgroundfrom最小二乘法该法要求余数对其自身的内积为最小，定义,,FAufAuf设的近似函数为u;1,2,,kkuukn将F对微分并令其等于零ku,2,,1,2,,kkkkkkkkFAuAuAufffuuknAFreesamplebackgroundfrom最小二乘法以上n个方程就可解得n个待定系数，当A是线性微分算子时，上式简化成ku2,2,0kkkkAuAAf或,01,2,,kkkAufAknAFreesamplebackgroundfrom