实变函数6.2

第六章函数空间Lp简介(续)本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。重点与难点：几种收敛概念的关系。第二节Lp-空间简介(续)第二节Lp-空间简介(续)既然已经有了距离概念，我们便可以在中定义序列的极限。定义2设，，，如果，即，则称是方平均收敛到的可测函数列，或说按中范数收敛到，记作)(ELp)(ELfp)(ELfpn,2,1n0),(limffnn0pnff}{nfp)(||||lim||||nffffpnpnn或ff)(ELpnf第二节Lp-空间简介(续)至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。例1令，]1,0[E011,010,)(xxnnxnxfn或第二节Lp-空间简介(续)则对任意，，即在上处处收敛到。然而，当把看作中的元素时，有因此按中范数并不收敛到0。]1,0[x)(0)(nxfnnf]1,0[0fnf)1)((pELp1,11,]|)(|[)0,(111ppndxxffpppnEnnf)(ELp第二节Lp-空间简介(续)例2设，记令……]1,0[E),2,1(),1[,0),1[,1)()(kikikixkikixxfki),()(),()(),()()2(23)2(12)1(11xfxxfxxfx),()(),()(),()()3(36)3(25)3(14xfxxfxxfx第二节Lp-空间简介(续)我们已经知道是处处不收敛到0的函数，现设，则在中，有若,则由于时，显然有，所以即。)}({xn1p)(ELpppnEndx1]||[)0,()()()(xfxnnkinppnEndx1]||[)0,(nnk0)0,(n)(0||||npn第二节Lp-空间简介(续)从例1、例2立知，处处收敛不蕴含方平均收敛，方平均收敛也不蕴含处处收敛。但下面的定理指出，方平均收敛蕴含依测度收敛。定理3设。且，则。ppp,2,1),(,kELffpk0),(ffkffk证明：对任意。记，则0})()(||{)(xfxfxEEkk第二节Lp-空间简介(续)由于，所以对任何固定的有，即证毕。ppkEkdxffff1]||[),(ppkEdxffk1)(]|[pkppEEmdxk11)())](([][0),(ffk)(0)],([1))((kffEmpkpkffk第二节Lp-空间简介(续)推论若，且，则。即中序列的极限是唯一的。证明：由定理3及，知，，再由第三章§2定理6知，故作为中元，有。证毕。)(,,ELgffpk,0),(ffk0),(gfkgf)(ELp0),(ffk0),(gfkffkgfk][.Eeagf)(ELpgf第二节Lp-空间简介(续)定理4设，如果，则证明：注意到，及)(,ELffpk0),(ffkppkff||||||||pkpkpffff||||||||||||ppkpkffff||||||||||||0),(||||ffffkpk第二节Lp-空间简介(续)立得所以。证毕。定理3及定理4都假定了与是中的元素。我们知道欧氏空间中的一个Cauchy序列，则该序列一定收敛到中的某个元。]||||),([lim||||pkkkpffffpkkpkkff||||lim||||limPppkkffff||||)||||||(||limppkkff||||||||limkff)(ELpnRnR第二节Lp-空间简介(续)这就是所谓的Cauchy准则，Cauchy准则成立的空间常称作完备空间。对于，Cauchy准则是否成立呢？也就是说，若是中的一个序列，且满足，是否存在。使得？如果结论是肯定的，则我们便可以说是完备的。定义3设是中的序列，若对任意，存在N，使得当时，有)(ELp}{kf)(ELp),(0),(kkffkk)(ELfp0),(ffk)(ELp}{kf)(ELp0Njk,第二节Lp-空间简介(续)，则称是中的基本列（或Cauchy列）。定理5是完备的，即任意基本列都收敛。证明：设是中的基本列，则由归纳法不难找到正整数序列，使得pjkjkffff||||),(}{kf)(ELp)1)((pELp}{kf)(ELp1}{mmkmkkkk321第二节Lp-空间简介(续)并且当时，有令，则是E上的非负单调递增可测函数列，由Fatou引得知，由Minkowski不等式知由Minkowski不等式知mkk,2,1,21||||),(mffffmpkkkkmm,3,2,1|,)()(|)(11nxfxfxgmmkknmn}{ngdxxgdxxgpnEnpnnE)]([lim)](lim[第二节Lp-空间简介(续)从而，进一步，即，由此不难得知在E上几乎处处有限，于是级数在E上几乎处处绝对收敛。记nmppkkEppnEdxxfxfdxxgmm1/11]|)()(|[])]([[1nmmnmkkmmff11121),(11)]([limdxxgpnEn1)](lim[dxxgpnnE)(limELgpnnnngglim1)(1mkkmmff1)()()(11mkkkmmffxfxf第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff第二节Lp-空间简介(续)由的任意性知，所以是完备的。证毕。应该指出，空间在积分方程与微分方程理论中有着十分重要的应用，前面已经提到，当我们用迭代法解方程时，虽然每一步的迭代函数都是具有很好性质的函数，却不能保证迭代序列的极限也具有类似的性质。但只要迭代序列是中的基本列，则其极限必为中的函数，该极限通常称为方程的广义解。又如微分方程边值问题中，对于给定的边界条件常常很难在连续可微函数的范围内求解，甚至根本没有连续可微解，此时，我们可以给方程加上一个小的扰动项，使得问题0),(ffk)(ELp)(ELp)(ELp)(ELp第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff第二节Lp-空间简介(续)变得易于求解，如果取一列按方范数收敛到0的扰动项，对应的解序列按方范数是一基本列，则其极限在中，我们也称该极限为原方程的一个广义解。显见空间是十分重要的一类函数空间。我们已经看到了，与有着许多相似的性质，它关于线性运算是封闭的，它上面有距离，也有由距离导出的范数，这样的空间称线性赋范空间。我们还看到，是完备的，完备的线性赋范空间称作Banach空间，这些空间都是泛函分析中研究的重要对象。尽管与有许多相似之处，但与又有着本质的差别，它的结构比要复杂得多，比如，pppLpL)(ELp)(ELpnR)(ELpnRnR)(ELpnR第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff第二节Lp-空间简介(续)中的有界序列未必有按距离收敛的子序列，这使得中与此性质相关的许多重要结论及技巧在空间中不再适用。要克服这些困难，需引进新的概念，建立新的理论。有关空间的更深入细致的讨论以及更一般理论的建立，可以本书的下册泛函分析教程中找到。注意到中函数是E上的Lebesgue可测函数，而鲁津定理告诉我们，任何可测函数都可用连续函数依测度逼近，因此，我们自然会猜测，中函数可以用连续函数按距离逼近。作为本章的结尾，我们就情形证实这一猜测。)(ELpnRpLpL)(ELp)(ELp],[baE第二节Lp-空间简介(续)则，由立知。往证。对任意，存在，当时，。于是当时，对一切都有由于，故再次应用Fatou引理得].[.)(lim)(Eeaxfxfmkm].[.)(|)(||)(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk),(mkkff].[.|)()(||)()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim||)()(|[lim||)()(|[),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxf