实变函数第二章习题答案

),1(,}{.61111nAABABAininnn是一集列，作设)1(}{11nABBiniinin且是一列互不相交的集，则1111111)]([)(BACABAABBimimimimm,1时则当n.][)]([1112ACACAAimim,1时当n)]([)]([1111ininimimACAACAnmBB)]([)]([1111ininimimCAACAA.)(][]([1111ininnimnimCAACACAA)()(1111ininimimAAAA,1nm证明：设是一列互不相交的集。故}{nB;,1111iniiniBBxAxAx，则若又对，iniijijiiAAAAB111，使得，则若0),,,3,2(001iAxniiAx.),1(110000iiiiiiiBBAAxiiAxni从而但.11iniiniAB故.11iniiniBA即总有，由于iniAAB111有对},,,3,2{ni.11iniiniAB于是.),0()1,0(.7212，求集列的上、下极限，设nAnAnn222211212:nnnnAAAAAAn解：由于对).,0(),0(lim11NnNnNnnAA,),,0(nNnnNnAA所以.lim11NnNnNnnAAaANAA~.4为可数.的元素可排成无穷序列A.,,.5aaaanaaan可数集的运算：.,,.6可数QZN.)1,0()1,0(~.7cAAcA势集为势集平面上任一线段等皆为cbadcbaRRn),,(),,(),(,,.8BAfBA11:~.1.~.20BBABA.,.3BABABABA.BABA且的对应，并写出这一对应的和作11),()1,1(.9)2tan()(xxfx.),()1,1(的一一对应到是则f),()1,1(:.f令解.解析表达式..11项式组成一可数集证明：所有有理系数多:Nn证明：对从而所有有可数故集变量各自跑遍一个可数.,nAQ.1可数理系数多项式组成之集nnA}{102210QaaaxaxaxaaAnnnn，，，所确定，且每一个，，，个变量的元素由naaan101.的全体是可数集为半为心，有理数平面上以有理点证明：ryx),(.知，则由定理径的园为6.2.1),,,(ryxO有理数为半径的园平面上以有理点为心，.12.},,),,({可数QryxryxOA],,[],[)(0baxbaxf单增，在证明：设],[).0()0()(000bafxfxfxxf在记间断，则在若);()0()0()(0000xfxfxfxxf连续，则在若BAg:令..13点至多可数证明：单调函数的间断},))0(),0(({BAxxfxf,A上的间断点集为))0(),0(()(xfxfxgx.的一一对应到是则BAg单增，对在由，不妨设，],[,2121bafxxAxx，有满足：22112],[,xyxxxxbayx)0(1xf)0(2xf)()0()2()0()(222111xfxfxxfxfxf由上式得分别令,0,021xyxx),()()2()()(2211xfyfxxfxfxf.)0()0()0()0(2211），（），（xfxfxfxf于是.10至多可数至多可数，从而题知，开区间构成，由中元素是由互不相交的故ABB使得则],,[0bax则若),()0().0()()0(00000xfxfxfxfxf单增，在间断，由于在若证明],[)(],[)(:baxfbaxf)](),([]),([],[)(.14bfafbafbaxf在单增，且在设.],[)(上连续在中稠密，证明baxf且),0()0(00xfxf)],(),([))(),0((00bfafxfxf这但,]),([))(),0((00bafxfxf.],[)](),([]),([连续在中稠密矛盾，故在与bafbfafbaf.)(),(,AxUxUBxBA有中稠密在],,[),(],[baA中稠密在.),(Aba有件是它可与其为无限集的充分必要条证明A.20.本身的某一真子集对等取，设”若“证明：},,,{,.21naaaAaA.~},,,{002420AAAAaaaAn，且则真子集，，为至多可数集，则否则，若0AA.矛盾可数，与aA.~10.2.10AAA知故由定理.,00为无限不可数集且可数，则若AAAAaA）（00AAAA且为有限集，设若反证”“},,,,{)(21naaaAA0110:.~AAfAAA则存在的真子集存在)(iiafa，这与，于是即AnAafafafAn0210)}(,),(),({.0为无限集的真子集矛盾，故为AAA.~,.16***可数，且满足AAAAAAaA},,,,,{.1.21noaaaAaA，设若证明：，且则取AAAaaaAn~,},,,,{*242*.},,,,{1231*可数naaaAA.,.200为无限集且可数，则若AAAAaAo为有限集，则否则，若0AA.矛盾可数，与aA.~10.2.10AAA知故由定理）（00AAAA.,~,,0***0*可数且则记AAAAAAAAAA.11,]1,0[.17对应并建立证明：cQ取分析：只需建立].1,0[]1,0[:11Qf.]1,0[11上作恒等映射，在建立AQBAA},,,,,{]1,0[},,2,,32,22{21nrrrQBnA]1,0[]1,0[:Qf令QAxxnnxrnnxnxfxn]1,0[,),3,2,1(122),3,2,1(2212)(，，},,2,,32,22{nA证明：记，AQAQ)]1,0([]1,0[则},,,,,{]1,0[21nrrrQB).()]1,0([)]1,0([]1,0[BAQABQ.]1,0[.11]1,0[]1,0[cQQf故对应的到是则