实变函数论课件4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点

第4讲n维空间中的点集目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，熟练理解Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理，能运用这些定理解决一些问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理。⒈度量空间定义：设X为一非空集合，d:X×X→R为一映射，且满足⑴d(x,y)≥0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）则称(X,d)为度量空间.⑵d(x,y)=d(y,x)（对称性）⑶d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是一个度量空间，称（Y,d）为(X,d)的子空间。12121221(,,...,)(,,...,),(),,(,)(,).定义对于中的任意两点及我们把非负实数称为与的欧几里德距离简称与的距离记作或者NNNNiiiRxxxxyyyyxyxyxyxydxy(,)0;(,)0;(,)(,);(,)(,)(,).ixyxyxyiixyyxiiixyxzzy命题距离有如下三条基本性质：（）当且仅当（）（）（三角不等式）例：⑶C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数全体),其中|)()(|max),(tytxyxdbtaniiiyxyxd12)(),(⑴欧氏空间（Rn,d）,其中yxyxyxd10{),(⑵离散空间(X,d)，其中121(,)max;(,);niiiiiixyxyxyxy0000001,0.,,(,).,.NNxRRpppUpp定义设中到的距离小于的所有点组成之集称为以为中心以为半径的球形邻域简称的邻域记作当没必要指出和时就简称为球形邻域或邻域0(,)0{|(,)}pUpdpp1122(,);(,),0(,)(,);(,),(,),0(,)(,),1,2.,(,)(,),(,iiixUxiiyUxUyUxiiixUxxUxUxUxiivxyUxUyUx命题球形邻域有如下四条基本性质：（）（）则存在使（）若则使（）若存在和使)(,)Uy);,(),(0),,(xUyUxUyii使）（).,(),(),,(,)(),(),(),(,),(),,(.0),,(xUyUxUzxyyzxzyzyUzxyii于是故从而则若则）令仅证（证明123123110002,,,(,,,,),.,,,,NnnnnNnnxxxRxxxxxxxRxUKnKxUxx定义设是中的一列点点列可记作或有时简记作若对于含的任一邻域总存在自然数使当时就称为点列的极限称000,lim.nnnnxxxxxx是一个收敛于的点列记作或0100002',.lim(,)0,,lim.NNnnnnnnnnxRxRdxxxxxxxx定义设是中的一点列若称为点列的极限记作或3,(,)inf(,).xAyBABdABdxy定义两个非空的点集的距离定义为3',={},(,)inf(,).yBABAxdxBdxy定义两个非空的点集的,若则点到集合的距离定义为a.,d,0;0,0,1.xBxBxB注：若则反之则不一定成立，如.(0A1/n,B1/n若，则,)；反之则不一定成立，如（都是闭集）bABdABnn.,,5是有界集则称使若存在开区间中一点集为设定义MMIIRMN4()sup(,).xAyAAAdxy定义一个非空的点集的直径定义为5',(),.NMRMM定义设为中一点集若则称是有界集1212,,,,..,,,,.000,NNNNNNNiNNxxxRRNRRxxxxRxiixixR定义分量都是实数的有序数组（）之全体称为空间简称称为的维数的元素（）又称为的点点的第个分量又称为它的第个坐标（当点记为时，它的第个坐标通常记为）点（，，，）称为的原点.记作12111222,(1,2,,).,,,|,1,,,NiiiiNNNNababiNRxxxaxbIaxbaxb定义6设、是实数中的点集（）（）112211221122,,;,;;,.1,1,2,,,,[,;,;;,].1,1,2,,,(,;,;;,].NNiiiNNiiiNNabababaxbiNIabababaxbiNIababab称为开区间记作（）若把（）中的诸不等式换成则称为闭区间记作若把（）中的诸不等式换成，则称为半开区间记作11221,,;,;;,,;1,2,,.NNiiIababababiN把（）中任意多个“”号换成“”相应的点集统称为区间，当无必要区别是何种区间时就统记作（此记号有时还写成））（）（1,,,,|,,,22211121NNNNbxabxabxaxxxI12211,;1,2,,,(1,2,,),().().iiiiNiiiNiiiabiNbaiNibabaI对于区间我们把称为它的第个边长把称为它的对角线长把称为它的体积，记为.的对角线长超过中任何两点的距离都不显然区间II.2,,.2,0,1的意义下均指在定义特别声明若无今后凡说区间的意义不是区间按照定义），例如（区间数学分析中所说的无限注.,22的任何一种区间可以是除闭区间外因此空集允许定义注iiba第4讲n维空间中的点集二．聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与E有几种可能的关系？定义1设，（i）若存在，使，则称为的内点。（ii）若存在，使，则称为的外点。（iii）若对任意，则称为的边界点。nnRPRE0,00(,)UPE0PE0(,),(,)(),cUPEUPE000PEE0P0(,)cUPE定义2若对任意，中总有中除外的点，即,则称为聚点。注：有限点集没有聚点。00((,){})UPPE00(,)UP0PEE0P⒊聚点的等价描述证明：显然，下证)1()2()3()3()1(定理1：下列条件等价：(1)p0为E的聚点(3)存在E中互异的点所成点列{pn},使得0limppnn0(,)0(0,({})pOEp即：有）P0δPn),(00,,0,0,0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limppnn定义：称点列{pn}收敛于p0,记为：(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点0012301,,,.xEExxxxx命题是的聚点中存在着一列异于的点收敛于.lim故,1），（.且使存在点,}){\)1,((,则对任意自然数,的聚点是设.充分性是显然的:证明000000xxnxxExxxxExnxUnExnnnnnn.),(,,1000的点中都含有无限多个属于的任何邻域则的聚点是若不难得知由命题ExUxEx,.EEEE的内点必为的聚点但的聚点未必是的内点000003,.,(,),.NNERxRxEUxxExE定义设是中一点集是中一点若且存在邻域其中除外没有属于的点，就称是的孤立点,.EEEEE的聚点可能属于也可能不属于但的孤立点一定属于.EE的边界点不是聚点便是孤立点000              oUPPEUPE不难看到，如果对任意，，，则，中一定含中无穷多个点。4(1),.EEE定义点集的所有内点组成的集称为的内部(开核)记作0{:()};ExUxE存在,'.EEE(2)点集的所有聚点组成的集称为的导集记作'{:()()\{}};ExUxUxEx任意，,.EEE(3)点集的所有边界点组成的集称为的边界记作{:()()()};cExUxUxEUxE任意，，(4){}{:()(){}};ExUxUxEx的孤立点存在，'(5)EEEE称为的闭包，记为{:()()};ExUxUxE任意，'{}oEEEEEEE的孤立点全体111,,...NNRRRR例中自然数集的导集是空集有理数集的导集是的导集是空集的导集是空集ccccEEEE)()()()(闭包和内部的对偶关系：定理2若，则定理3若，则nRBA,ABnnRBRA,BABA)(,ooAB.AB定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，从而含或中点，由定理1，知存在一串互异的点，使BABBAA,)(BABA((,){})()UPPABB)(BAPA0(,){}UPPBAPn}{中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在中，则将会有，总之。从而。综上。证毕。}{,0),(nnPPP),2,1(,iAPinBABA)(AAPB0),(PPinBBPBAPBABA)(*定理4（波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）若是中一个有界的无穷集合，则至少有一个聚点，即。EEnREP*定理5若则至少有一个界点，即。,nEER，EE与聚点相对的概念是孤立点，集合的边界点若不是的聚点，则称为的孤立点。当然，的孤立点一定在中。如果的每一点都是孤立点，则称为孤立集合。EEEEEEE