信号与系统(奥本海默第二版)第5章

第5章离散时间傅立叶变换•傅立叶变换的性质。本章主要内容：•离散时间傅立叶变换•常用信号的离散时间傅立叶变换对。•离散时间周期信号的傅立叶变换。•系统的频率响应与系统的频域分析方法。基本内容1.离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；5.系统的频率响应与系统的频域分析方法；注释:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):连续时间傅立叶级数DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):离散时间傅立叶级数CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):连续时间傅立叶变换DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):离散时间傅立叶变换5.0引言Introduction本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，其系数具有周期性。ka在采用相同方法研究如何从DFS引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。5.1非周期信号的表示RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform一.从DFS到DTFT:在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。Nkkk1220NN1240NN1210NNkNa因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。当时，有，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。N0(2/)0N从时域看，当周期信号的周期时，周期序列就变成了一个非周期的序列。N当时令2limjkNNkNaXeN，（）221[],[]jknjknNNkkkNnNxnaeaxneN对周期信号由DFS有()xn2/2/21[]NjknNknNaxneN即jXe（）说明:显然对是以2为周期的。DTFT[]jjnnXexne（）有:kNjkeXNa2)(1当在一个周期范围内变化时，在范围变化，所以积分区间是。k0k22ka将其与表达式比较有00[][],,,,Nxnxnkd，当时于是:00000012[](),1()2jkjknkNjkjknkNxnXeeNNXee表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。deXj)(21DTFT对21[]()2jjnxnXeed21[]()2jjnxnXeed()[]jjnXexne结论：01()1jnjnjnXeaeae二.常用信号的离散时间傅立叶变换21()12cosjXeaa通常是复函数，用它的模和相位表示:()jXe1sin()tg1cosjaXea1.[](),1nxnauna01a10acos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由图可以得到:时，高频特性,摆动指数衰减10a[]xn时，低频特性,单调指数衰减01a[]xn[],1nxnaa2.可以得出结论:实偶序列实偶函数111sin(21)2()sin2NjjnnNNXee1,[]0,xn11NnNn3.矩形脉冲:当12N时，可得到:有同样的结论:实偶信号实偶函数1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如图所示:[][]xnn4.1.则级数以均方误差最小的准则收敛于。)jXe（2[],nxn2.则存在，且级数一致收敛于。[],nxn)jXe（)jXe（当是无限长序列时，由于的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。)jXe（[]xn三.DTFT的收敛问题5.2周期信号的DTFT002,jte（）对连续时间信号，有由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即2022jwnkXek（）对其做反变换有：TheFourierTransformforPeriodicSignals0022jnkke（）可见,002[],jknkkNxnaeN由DFS有因此，周期信号可用DTFT表示为[]xn022001[]()2()jjnjnjnxnXeededekkkNa)2(2比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。0[]()2(2)jkkNlxnXeaklkjkkeX)2()2()(000001[]cos(),2jnjnxnnee例1.它不一定是周期的。当02kN时才具有周期性。)(jeX0220200002202()如图所示:NenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4[]()kxnnkN例2.比较:与连续时间情况下对应的相一致。均匀脉冲串[]xn1N0NN2N2n5.3离散时间傅立叶变换的性质DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。一、周期性(periodic)：比较：这是与CTFT不同的。PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform(2)()()jjXeXe则若[]jxnXe（），1212[][]()()jjaxnbxnaXebXe二.线性(linearity):三.时移与频移(shifiting):00()[]()jnjxneXe[](),jxnXe若则00[]()jnjxnnXee时移特性频移特性四.时域反转(reflaction):[]()jxnXe若则[](),jxnXe五.共轭对称性(symmetryproperties):**[](),[]()jjxnXexnXe若则由此可进一步得到以下结论:Re()Re()Im()Im()jjjjXeXeXeXe)()(),()(**jjjjeXeXeXeX即1.若[]xn是实信号，则*[][]xnxn()()()()jjjjXeXeXeXe2.若[]xn是实偶信号，则[][],xnxn*[][][]()jxnxnxnXe()()(),jjjXeXeXe于是有:即是实偶函数。)(jeX*[][],[][]xnxnxnxn3.若是实奇信号，[]xn()()(),jjjXeXeXe于是有:表明是虚奇函数。)(jeX[][][]eoxnxnxn，4.若则有:说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。()Re()jexnXe()Im()joxnjXe0[][1](1)()()()()(2)1jjjnjjkkxnxneXeXexkXeke六.差分与求和(DifferencingandAccumulation):）je1(说明:在DTFT中对应于CTFT中的。j1[](2)1jkunke例:[]()nkunk[]1n七.时域扩展(Interplation):[/],[]0kxnkxn，定义为的整数倍其他nkn()[][]jjnjrkkkknrXexnexrke[]()jrkjkrxreXe[]()jkkxnXe信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。()[]jdXenxnjd八.频域微分(DifferentioninFrequency):2221[]()2jnxnXed九.Parseval定理:2)(jeX称为的能量谱密度函数。[]xn221[]knNkNxnaN比较:在DFS中有称为周期信号的功率谱。2ka5.4卷积特性(TheConvolutionProperty)[][]*[],()()(),jjjynxnhnYeXeHe若则说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。即是系统的频率特性。()jHe5.5相乘性质（TheMultiplicationProperty)12()12212[][][],1()()()21()()2jjjjjynxnxnYeXeXedXeXe如果则由于和都是以为周期的，1()jXe因此上述卷积称为周期卷积。22()jXe[][][]ynxncn[]cn[]xn[](1),ncn()2(2)jkCek()22()01()()2()()()jjjjXeCedXedXe例:[](1)njncne1()()()2jjjYeXeCe22)(jeC0)(jeXMM015.6傅立叶变换的性质及基本变换对列表（自学）)(jeY10MM5.7对偶性（Duality）221[],[]jknjknNNkkkNnNxnaeaxneN由于本身也是以N为周期的序列，当然也可以将其展开成DFS形式。ka一.DFS的对偶21[]jknNknNaxneN即:或21()jknNnkNaxkeN[]1[]DFSkDFSnxnaaxkN即:利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。),(1kxN这表明：序列的DFS系数就是na1[][]knxnaaxkN2[][]jMnNkkMxnaxnea例1:从时移到频移002)(1knNjnnekxNa利用时移性质有:211[]jMnNkMxneaNN由对偶性有:频移特性2[]jMnNkMxnea二.DTFT与CFS间的对偶()()()jjnjnXexneXe由知是一个以2为周期的连续函数,如果在时域构造一个以为周期的连续时间信号则可以将其表示为CFS形式:),(jteX2利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去；或者反之。这表明：[]()DTFTjxnXe()[]CFSjtXexk若则时域的连续性可以看出