根据频域卷积定理

§3.7傅里叶变换的基本性质主要内容对称性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：•了解特性的内在联系；•用性质求F(ω)；•了解在通信系统领域中的应用。)()(Ftf若ftFπ2则ftFπ2则一．对称性质1．性质2．意义tFtF)()(相同，形状与若。幅度差形状相同，的频谱函数形状与则π2,ttf)t(F为偶函数若tfj1πF二．线性性质1．性质2．例3-7-3)()(,)()(2211FtfFtf若为常数则2122112211,)()()()(ccFcFctfctfctutsgn2121三．奇偶虚实性td)t(fFtje02tdtcos)t(ftd)t(fFtje在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。1、f(t)是实函数实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数02tdtsin)t(fj2、f(t)是虚函数虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R(ω)为奇函数，虚部X(ω)为偶函数。令tjgtfdt)tsin(tgdt)tcos(tjgdtetjgFtj实部虚部由定义)(de)()(jFttftfFt)(de)(de)()(jjFuufttftfFut)()()()(FtfFtf，则若证明：可以得到任意f(t)，都具有如下性质FtfFFtfFFtfF)()()(四．尺度变换性质意义为非零实常数则若aaFaatfFtf,1),()((1)0a1时域扩展，频带压缩。(2)a1时域压缩，频域扩展a倍。。FFtftfa,1)3(otE22tfoEπ2Fπ2ot2tfEoE2π22Fπ(1)0a1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。ot44tf2Eo2Eπ4221Fπ4持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a1时域压缩，频域扩展a倍。)()(j)(*FXR为奇函数为偶函数XR,)(j)()(XRF共轭为实函数时当*,FFtf*,1)3(FFFtftfa),()(Ftf若;e)()(0j0tFttf则)(je)()(FF若0)(j0e)()(tFttf则五．时移特性000ttt左右相移幅度频谱无变化，只影响相位频谱，)()(Ftf若ataFatatf0j0e1则时移加尺度变换0j0e)()(tFttf则ataFaattf0j0e1则)()(Ftf若号为常数，注意则00j0je)(e)(00FtfFtftt2．证明1．性质六．频移特性ttftftttdee)(e)(jjj00Fttftde)(0j0F3．说明4．应用)(FOO)(0F0O)(0F00j,e)(0右移频域频谱搬移乘时域ttf0j,e)(0左移频域频谱搬移乘时域ttf通信中调制与解调。0000002sin21cosFFjt)t(fFFt)t(f可以导出七．微分性质时域微分性质频域微分性质)(j)()()(FtfFtf，则),()(Ftf若djd)(Fttf则dd)(jFttfnnnFtftdd)(j或nnnFtftj)(1．时域微分)(j)()()(FtfFtf，则)(j)(Ftfnn一般情况下nntfFFj)(则，若已知)(tfFn:)(j)(FtfF90j,相位增加幅度乘),()(Ftf若ddj)(Fttf则dd)(jFttf或nnnFtftdd)(j2．频域微分性质或nnnFtftj)(推广八．时域积分性质，则若Ftfjd00FfFt时，jFFdft0π也可以记作：)(πj1)(F§3.8卷积特性（卷积定理）•卷积定理•卷积定理的应用一．卷积定理2211,FtfFtf若2121FFtftf则2211,FtfFtf若2121π21FFtftf则倍。各频谱函数卷积的时间函数的乘积π21•时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。•频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。duuFuFFF2121其中求系统的响应。的傅里叶变换。求tfdtfdj0πj1dFFFft将时域求响应，转化为频域求响应。tfthtgthtftgGFtgHFG1二．应用用时域卷积定理求频谱密度函数。dtuftutf§3.9周期信号的傅里叶变换主要内容•正弦信号的傅里叶变换•一般周期信号的傅里叶变换•如何由F0(ω)求Fn•单位冲激序列的傅氏变换•周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？离散谱傅里叶级数1nFtf连续谱傅里叶变换Ftf叶变换统一的分析方法：傅里非周期周期tf引言由欧拉公式由频移性质一．正弦信号的傅里叶变换tttttt0000jj0jj0eej21sinee21cosπ210j0j2e12e100tt00000πππ2π221cost同理000πjπjsint已知)()(πcos000t000πjπjsint00ππFO频谱图:cos0频谱图t:sin0频谱图t00ππFo0022o由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)二．一般周期信号的傅里叶变换11π2:T设信号周期ntjnnFtf1eTtnjnnntnjnFFFFtfFF11eeTT1π2nFnn1π2nFnn;1T的频谱由冲激序列组成tf谐波频率位置:1n离散谱成正比与强度π2,FF:nn几点认识表示的是频谱密度。因为谱线的幅度不是有限值F,2,1处只存在于周期信号的nF。幅度为频率范围无限小,1Tπ2nFFnn三．如何由求的关系的谱系数与周期信号即单个脉冲的nFtfFT000Ftf设)(tdtfFTTtj1e2200110FnF22111112e1eTTtnjTnntnjnT)(tdtfTFFtf比较式(1),(2)1011nFTFn所以nFtfF的谱系数求周期函数可由T0nnTtt1TntnjntnjnTFt11e1e1T所以四．周期单位冲激序列的傅里叶变换ttT111111T1T12T12To1t因为的傅氏级数谱系数所以tT11TFn11111121112Fo。强度和间隔都是激序列的频谱密度函数仍是冲1T,t频谱nnnFtFF1T2nnT11π21nn111nF11T112112onF五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换tf1Tto1T22E2Sa)(0EF1011nFTFn所以1π2nF)(Fnn1112SannEn1112Saπ2nnTEn单个脉冲的傅里叶变换)(1nFO1121TEπ2)(1nFOF(ω)ω12ω11EnF利用时域卷积定理)()()(T0ttftf§3.10抽样信号的傅里叶变换•时域抽样•理想抽样•矩形脉冲抽样•频域抽样从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。周期信号抽样原理图：一．抽样)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tg)(tp)(tf量化编码数字滤波器tftfFFtf能否恢复由的关系与需解决的问题sss)(:)(mmFtf,PtpssFtf满足：tptftfs-2-nsnPPndtetpPtjnsSTST22sT1其中根据频域卷积定理nsnSnFPPFF21ns)n(s二．理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信号抽样信号抽样脉冲tftfstTnnFTFFssTs1π21)t()t(f)t(fTs)(mmFtf,PtpssFtfn)nTt()t()t(psTtf(t)otp(t)oTSEtfS(t)oTSoooFPssssFs1T1mmmss相乘卷积(1)冲激抽样信号的频谱msmms几点认识倍。差幅度含原信号的全部信息包时sss,,1,01TFTFn性延拓。的周期即新的频率成分有为周期的连续谱以FF,,2ss