《数值分析》期末复习题(1)

1/5《数值分析》期末复习题一、单项选择题1.数值x*的近似值x=0.32502×10-1，若x有5位有效数字，则xx().(A)21×10-3(B)21×10-4(C)21×10-5(D)21×10-62.设矩阵A＝10212104135，那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的雅可比迭代矩阵为()(A)00.20.10.200.40.20.60(B)10.20.10.210.40.20.61(C)00.20.10.200.40.20.60(D)0212041303.已知(1)1,(2)4,(3)9fff，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f=()(A)6.15(B)6.25(C)6.20(D)6.104.抛物形求积公式的代数精度是()A.1，B.2，C.3，D.45.改进欧拉格式的局部截断误差是().(),AOh2.(),BOh3.(),COh4.().DOh二、填空题1、以722作为的近似值，它有（）位有效数字；2、经过)1,2(),2,1(),1,0(CBA三个节点的插值多项式为（）；3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组,10,232121xbxbxx其中b为实数，则方法收敛的充分条件是b满足条件（）；2/54、取步长为1.0h，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,yxyy的解函数)(xy，它在3.0x的近似值为（）；5、已知方程0sin1xx在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021的近似解至少需要经过（）次迭代。（已知lg20.3010）6、已知近似数a的相对误差限为0.5%，则a至少有位有效数字。7、已知0.2010是经过四舍五入得到的近似数，则其相对误差限是。8、已知(1.21)1.1,(1.44)1.2ff，则用拉格朗日线性插值求得(1.3)f的近似值为。9、设函数()fx，则求方程()xfx的根的牛顿迭代公式是。10、用欧拉公式求解初值问题5,(0)0,yyxy，其绝对稳定域是。11、取n=2，用复化辛普森公式计算1011Idxx的近似值为。12、有5个节点的插值型求积公式的代数精度为。13、设向量123(,,),Txxxx试问函数123()|||23|fxxxx是不是一种范数（回答是或不是）。14、设矩阵1111A,则2||||A，()A。15、矩阵21221iAi的两个特征值必落在圆盘和之中。16、已知近似数x的相对误差限为0.05%，则x至少有位有效数字。17、已知2.420是经过四舍五入得到的近似数，则其绝对误差限是。18、已知21.414,31.732，则用拉格朗日线性插值求得2.5的近似值为。19、设函数()fx，则求方程()xfx的根的牛顿迭代公式是。20、设矩阵1247A,则1||||A，||||A。3/521、有3个节点的插值型求积公式的代数精度至少为。22、取n=4，用复化梯形公式计算1011Idxx的近似值为。23、设向量123(,,),Txxxx试问函数123()4||2||3||fxxxx是不是一种范数（回答是或不是）。24、矩阵22211iAi的两个特征值必落在圆盘和之中。25、用欧拉公式求解初值问题()3()1,(0)1,xtxtx，其绝对稳定域是。三、计算题1、写出求解方程21150x的牛顿迭代格式，并用它计算5的值（取011.0x，计算结果精确到4位有效数字）。2、用高斯列主元法解方程组：.21.03,01045,132321321321xxxxxxxxx3、利用5n的复化梯形公式计算积分1011dxxI并估计截断误差。4、已知333487.0)34.0sin(,314567.0)32.0sin(有6位有效数字。（1）用拉格朗日插值多项式求)33.0sin(的近似值；（2）证明在区间[0.32,0.34]上用拉格朗日插值多项式计算xsin时至少有4位有效数字。5、用列主元高斯消去法求解下列方程组：123223747718.2121xxx6、已知函数()fx在1,0,2x的值分别为3,1,3，求二次拉格朗日插值多项式并计算(1)f的近似值。7、已知数据表如下：x0.51.01.54/5y0.80.30.1求拟合曲线2()xabx。8、已知矩阵10.50.51M，取初始向量0(1.00,0.99)Tx，用乘幂法迭代3次求M模最大的特征值及相应特征向量的近似值。9、已知线性方程组1232131312,234xabxax问a,b取何值时，用高斯-赛德尔迭代法是收敛的。10、已知函数()fx在1,1,2x的值分别为3,1,6，作差商表求二次牛顿插值多项式并计算(0)f的近似值。11、求下列超定方程组的最小二乘解12121212323,25,2,31.xxxxxxxx12、已知线性方程组112121,243axbyaz问a,b取何值时，可用Cholesky分解法求解。四、证明题1、用欧拉公式求解初值问题3,01,(0)1,yyxy，（1）证明当0h时，3xNye，其中xhN；（2）当h为何值时，用欧拉格式求解此问题是绝对稳定的？2、设012113,,424xxx，5/5（1）推导012,,xxx为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指出该求积公式的代数精度。3、可以设计求5近似值的两个迭代公式如下：（1）11522kkkxxx；（2）13544kkkxxx；证明：公式（1）是二阶收敛的，而公式（2）则只有线性收敛速度。4、对于初值问题250(),01,(0)1,yyxxy，（1）用欧拉公式求解，步长h取什么范围的值才能使计算稳定？（2）若用梯形公式计算，步长h有无限制？？5、确定下列数值微分公式的余项：设12()(0)[(2)()]33fhffhfhh。6、设方程32sin60xx的迭代公式如下为12sin23kkxx。（1）证明对任意的0xR，均有*{}()kxxk，其中*x是方程的根；（2）指出此迭代公式的收敛阶。（3）若改用牛顿法求解该方程，写出其迭代公式并指出收敛阶。7、证明如下中点公式12121,(,),(0.5,0.5)nnnnnnyyhKKfxyKfxhyhK，的局部截断误差为3()Oh，并求其绝对稳定域。8、确定下列数值微分公式的余项：设12()(0)[(2)()]33fhffhfhh。