《数值模拟导论》讲义-第十四讲 有限体积法1-郑百林2015

数值模拟导论(INS)（IntroductiontoNumericalSimulation）第十四讲有限体积法(FiniteVolumeMethod)主讲教师郑百林(LecturerZhengBailin)助理教师张锴李泳杨彪何旅洋王琪(TAZhangKai,LiYong,YangBiao,HeLvyang&WangQi)InstituteofAppliedMechanicsSchoolofAerospaceEngineeringandAppliedMechanics绪论(Abstract)有限体积法的基本概念(TheBasicConceptofFiniteVolumeMethod)一维Euler方程的有限体积法(TheFiniteVolumeMethodofOne-dimensionalEulerEquations)多维问题的有限体积法(FiniteVolumeMethodofMultidimensionalProblems)有限体积法有限体积法主要优势：处理复杂网格差分法处理复杂外形——坐标变换),,(),,(),,(zzyyxx321321ˆˆˆˆˆˆˆVVVffftU)(ˆ32111fffJfzyx),,(),,(1zyxJ坐标变换函数必须足够光滑——否则损失精度实际问题：外形复杂，光滑的结构网格生成困难差分法有限体积法优点简单、计算量小、易于提高精度本身包含几何信息，易处理复杂网格不足差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格复杂、不易提高精度1.有限体积法的基本概念实质：把几何信息包含于离散过程中0)(xuftuj-1jj+1j-1/2j+1/21.全离散型过程0))((12/12/1nnjjttxxdxdtxuftu0)()(12/12/12/12/11nnjjttjjxxnndtffdxuu含义：f在j+1/2点的值（注意与差分法的区别）在控制体上积分原方程2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu定义：空间平均1)(1ˆ2/12/1nnttjnjdttftf时间平均0ˆˆ2/12/11xfftuunjnjnjnj精确推导，不含误差0)(xuftu0ˆˆ2/12/11xfftuunjnjnjnj积分（精确）2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu重构（Reconstruction)有限差分法的离散：数值微分过程有限体积法的离散：数值积分过程积分方程离散化2/12/1)(1ˆ2/12/1jjttjnjdtxftf反演（evolution))(xuunnj2/12/1)(1ˆ)(2/12/1jjttjnjndtxftfxu(1)重构过程A.零阶重构，假设分片常数j-12/12/1)(jjjnxxxuxuB.线性重构，假设分片线性函数零阶重构与一阶重构示意图jj+1)()(jjnjnxxDuxuxuuDnjnjj1xuuDnjnjj1orxuuDnjnjj211or或其他方法C.更高阶的重构例如:分片二次函数（PPM）,WENO等重构是有限体积的空间离散化过程，有多种方法（2）演化过程（以线性方程为例）1)(1ˆ2/12/1nnttjnjdttftf0,)(,0)(aauufxuftu需要得知时间演化信息，通常利用特征方程0,0axuatu)(),(0atxutxu))(()()(2/12/12/1njnjjttaxautautf若采用零阶重构：2/12/1)(jjjnxxxuxu则：jnjnuttaxu))((2/1jjuaf2/1ˆ假设时间步长足够小],[)(2/12/12/1jjnjxxttax则方程为：011xuuatuunjnjnjnj等价于一阶迎风差分Riemann解若采用线性重构)()(jjnjnxxDuxu)(),(0atxutxu))(2())(())(()(2/12/12/1njnjjnjjnjnjnjttaxDuxttaxDuttaxututDaxDuadttautfjjnjttjnjnn2)2()(1ˆ22/12/110ˆˆ2/12/11xfftuunjnjnjnjxDDtaxDDxuuatuujjjjnjnjnjnj2)(2/)(12111若xuuDnjnjj1xuuutaxuuatuunjnjnjnjnjnjnj2)2(112111xuuDnjnjj1xuuutaxuuuatuunjnjnjnjnjnjnjnj2)2(234122121Warming-BeamLax-Wendroff0阶重构——1阶精度线性重构——2阶精度一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法Euler方程：演化过程可通过Riemann解或近似Riemann解进行2.半离散方法全离散：积分方程代数方程（守恒性好，但复杂）半离散：积分方程常微分方程（简便，便于使用R-K等成熟方法）0)(xuftu0))((2/12/1jjxxdxxuftu仅空间积分02/12/1xfftunjnjnj2/12/1),(1)(jjxxjdxtxuxtuf在j+1/2点的值，仍需要使用周围点进行插值njf2/1通常无法精确计算，可采用近似值代替njf2/1ˆ0ˆˆ2/12/1xfftunjnjnj2ˆ12/1njnjnjuuaf0211xuuatunjnjnj等价于二阶中心差分半离散j-1jj+1j-1/2j+1/2)(kuf))(ˆ(ˆ)(ˆ2/12/1jnjnnjxuffxuu重构2.一维Euler方程的有限体积法j-1jj+1j-1/2j+1/20xtf(U)U0ˆˆ2/12/1xtnjnjnjffU半离散1.重构控制体积j-1jj+1左重构值右重构值选择不同的模板会得到不同的重构方案向左偏的模板产生向右偏的模板产生差分法——同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之Lj2/1URj2/1U例如：0阶重构1阶单边重构12/12/1,jRjjLjUUUU)3(21),3(21212/112/1jjRjjjLjUUUUUU根据特征方向，选择左通量或右通量Lj2/1URj2/1Unj2/1ˆf途径1：FVS途径2：FDS……2.分裂方法（1）:FVS方法（流通矢量分裂——逐点分裂）fff具体方法：Steger-Warming分裂Lax-Friedrichs分裂VanLeer分裂：Liou-Steffen分裂：（压力项与其他项分开，AUSM类格式的基础）2kkkwcucuucucuu232221321321)(2~)(2~~)1()(~)(~~)1(2~~~)1(22)~(~λf2/)(*Uff根据当地Mach数分裂保证的Jocabian阵特征值为正，的为负ffUAf))ˆ2/12/12/1RjLjnj(Uf(Uff正通量：向左偏斜重构；负通量：向右偏斜重构偏重向上游与迎风差分法类似：网格基（或权重）偏重上游差分、有限体积都可使用(2)FDS方法（通量差分分裂——特征投影分裂）1.利用精确Riemann解——Godnov格式目的：Lj2/1URj2/1Unj2/1ˆfj-1jj+1j-1/2j+1/2控制体积j-1jj+1左重构值右重构值1）精确求解Riemann问题Lj2/1URj2/1U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU2）)f(Uf),()(ˆ1/2j2/1txtnj精度：取决于重构的精度（原则上可任意阶）差分法：Godnov格式使用分片常数，精度1阶有限体积法：先重构，再解Riemann问题，可高阶精确Riemann解（见本讲座第2讲）需迭代求解，计算量大-近似Riemann解整体思路：先重构自变量（两种方案得到），再求解Riemann问题（或用FVS）得到通量的方法通常称为MUSCL方法。Lj2/1URj2/1U差分法与有限体积法区别与联系（二阶迎风+FVS为例）差分、有限体积0xtf(U)U0xtf(U)U0xxtffU02/12/12/12/1xxtiiiiiffffU差分（通常做法）：直接插值通量fi+1/2)/2f(3ff)/2f(3ff2i1i1/2i1ii1/2i有限体积：先插值自变量U，然后计算通量f：])/2U(3U[)(])/2U(3U[)(2i1i2/11ii2/1ffffff1/2i1/2iRiLiUU先插值自变量，再计算通量的方法，称为MUSCL类方法。是有限体积法的常用方法（差分法也可以用）单侧重构，以避免跨过激波还可使用FDS方法，重构后求解Riemann问题当f=f(U)连续时，对f插值与对U插值精度相同。UGUfUUf)()(2.近似Riemann解——例：Roe格式)U(U21)]f(U)[f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/1~~~ˆ)UA(A~)/()()/()(]2/)[(2RLRRLLRLRRLLRLHHHuuu与差分法的Roe格式形式相同理解：近似Riemann解（Euler方程常系数线性化解）0xtf(U)U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU0xtnU)A(UU常系数双曲方程组，易解！思路：用平均增长率矩阵取代瞬时增长率矩阵A,不但实现了线性化，而且实现了常系数化。利用二次齐函数的性质，可找到了Roe点（即Roe平均点），该点处的增长率刚好等于平均增长率。A~Roe平均0xtU)UA(U常系数化线性化)()()(LRLRUfUfUU)UA(0xtU)UA(U常系数方程组的Riemann问题0~~~xtUSΛSU1SUV0~xtVΛV0~xvtvkkk解耦了的单波方程，有精确解2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU初值2/12/12/12/1)()(),(jRjkjLjknkxxvxxvtxvLjkv2/1)(Rjkv2/1)(Ljkv2/1)(Rjkv2/1)(解为))())((~sgn(21))()((210~)(0~)(),(2/12/12/12/12/12/12/1LjkRjkkRjkLjkkRjkkLjkjkvvvvfvifvtxv))(~sgn(21)(212/12/12/12/12/1LjRjRjLjjVVΛVVV)()~sgn(21)(212/12/112/12/12/1LjRjRjLjjUUSSUUUΛSUVVSU1)U(U21)]f(U)[f(U21fLjRjRjLjjSS