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一．选择题（共6小题）1．如图，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（）A．120°B．125°C．130°D．140°2．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°3．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S四边形AEDF=S△ABC；④EG+FH=BC．其中正确结论的序号是（）A．只有②③B．只有①②C．只有①②③D．①②③④4．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（）A．①②③④B．只有①②，C．只有②③D．只有①③5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是（）2/22A．只有①②④B．只有①②③C．只有②③④D．只有①③④6．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（）①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②∠BFC=90°+∠BAC；③△ADE的周长为AB+AC；④AF平分∠BAC．A．①③④B．①②C．①②③④D．②③④二．填空题（共2小题）7．如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE=_________．8．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=_________度．三．解答题（共10小题）9．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．3/2210．在△ABC中，点P为BC的中点．（1）如图1，求证：AP＜（AB+AC）；（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE．①如图2，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；②请在图3中证明：BC≥DE．11．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．12．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．13．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，点F为BC边上的中点，点E在AB边上，若EF=DF，判断CE与AB的位置关系，并说明理由．4/2214．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．15．如图，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD=CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，求证：FG=BF+CG．16．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．5/2217．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．18．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．6/22一．选择题（共6小题）1．如图，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（）A．120°B．125°C．130°D．140°考点：线段垂直平分线的性质。767691专题：计算题。分析：根据线段垂直平分线性质，OA=OB=OC．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC．解答：解：∵O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB．∵∠BAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∠OBC+∠OCB=40°．∴∠BOC=180°﹣40°=140°．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大．2．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°考点：等边三角形的性质。767691专题：几何图形问题。分析：∠FAE+∠AEF可转化为∠FAE+∠EBC+∠C，由∠EBC=∠BAD，所以又可转化为∠FAE+∠BAD+∠C，进而可求解．解答：解：在等边△ABC中，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∠FAE+∠AEF=∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C=60°+60°=120°，故选C．点评：题中重点在于由∠BAD=∠CBE而得∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C的过程，即角的转化．7/223．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S四边形AEDF=S△ABC；④EG+FH=BC．其中正确结论的序号是（）A．只有②③B．只有①②C．只有①②③D．①②③④考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。767691分析：考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题，利用全等三角形判断线段相等，例如在①中，可求解Rt△EGD≌Rt△DHF，同样后面几问也都可用全等解答．解答：解：如图所示，∵DE⊥DF，∴∠EDG+∠FDH=90°∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH，∴Rt△EGD≌Rt△DHF，∴DE=DF，①正确；连接AD，由①得，DE=DF，∵DC=AD，∠FDC=∠ADE，∴可证△AED≌△CFD，∴FC=AE，∴AE+AF=AB，②正确，∵BE=AF，∠CAD=∠B=45°，AD为公共边，∴△ADF≌△DEB，又△AED≌△CFD，∴③也正确，④中由①得GD=FH，又∠B=45°∴BG=EG，EG+FH=BC，④正确∴①②③④都正确，故选D．点评：熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质，能够通过全等求角相等，线段相等．4．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（）A．①②③④B．只有①②，C．只有②③D．只有①③考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。767691分考查等边三角形的性质，在等边三角形中，角平分线即为中线，也为垂线，然后再利用全等，角相等进行判8/22析：断．解答：解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，∴①正确；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，②正确；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，③正确；由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，④也正确∵①②③④都正确，故选A．点评：熟练掌握等边三角形的性质．5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是（）A．只有①②④B．只有①②③C．只有②③④D．只有①③④考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。767691专题：动点型。分析：利用三角形全等，得到结论，利用排除法即可求解．解答：解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE①成立，排除C，由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，又∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE②成立，排除D，由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立，排除A．故选B．点评：作为选择题出现，应掌握这类型题基本的做题思路，判断出两对三角形全等，中间的三角形为等边三角形等．6．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（）①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②∠BFC=90°+∠BAC；9/22③△ADE的周长为AB+AC；④AF平分∠BAC．A．①③④B．①②C．①②③④D．②③④考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。767691分析：①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；②利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式；③由①可得△ADE的周长为AB+AC；④三角形的三条角平分线交于一点，可知AF平分∠BAC．解答：解：①∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF=∠DFB，∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，同理∠ECF=∠EFC，∴EF=EC，∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；②在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣﹣（1）在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°即∠CFB+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣（2）（2）×2﹣（1）得②∠BFC=90°+∠BAC；③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形∴BD=DF，EF=EC，△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；④∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．二．填空题（共2小题）7．如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE=2cm．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定。767691专题：计算