第13章应力状态分析和强度理论

第13章应力状态分析和强度理论一、问题的提出13.1应力状态的概念AF轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：梁弯曲的强度条件：.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题2B点处应力该如何校核？BB——有必要研究一点的应力状态。过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明二、点的应力状态的概念过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。xyzxyyxyzzyzxxz三、一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——应力单元体三个方向的尺寸均为无穷小；每个面上应力都是均匀的；在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。AAσσFFAA1、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小。321过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力3010503010;30;10;50321;30;0;10321四、应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。2、应力状态的分类平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz平面应力状态xyxyyxxyxyxxyyxxy单向应力状态纯剪应力状态取单元体示例一FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF5432154321S截面4PlFMz2PF1x122x2233一、斜截面上的应力计算13.2平面应力状态分析—解析法等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化为平面问题xyxyxyxyon--逆时针转为正。设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：;0FndAxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos::dAacdAabdAbc单元体各面面积cos)cos(dAxsin)cos(dAxsin)sin(dAy0cos)sin(dAy2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacb0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(,0dAdAdAdAdAFyyxxt符号规定：1)“”正负号同“”；2)“”正负号同“”；3)“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,00dd00即yxxytg220主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx——主应力的大小讨论：yx0901)、2)、的极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)、切应力的极值及所在截面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1——最大切应力所在的位置22minmax)2(xyyx——xy面内的最大切应力01dd令)90;(011112tan2tan10)45(001由yxxy22tan0——主平面的位置)90;(0000xyyx22tan1——最大切应力所在的位置)90;(0111将与画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例1：如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40xyx5040602、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50(2005.67)(7.60,0),(7.80321MPaMPa主应力：主平面位置：31yxxx013.3三向应力状态空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态123zxyxyyxyxz三向应力状态特例的一般情形32I1(1)求平行于σ1的方向面的应力σα、τα,其上之应力与σ1无关.II132(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、τα,其上之应力与σ2无关.III213(3)求平行于σ3的方向面的应力σα、τα,其上之应力与σ3无关.(4)一点处任意斜截面上的应力σn、τn,其上之应力与σ1、σ2、σ3都有关.123在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：221232231231max一点处最大剪应力13.4广义胡克定律xExxExxy--泊松比yx一、单向应力状态：二、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法2311223++231231231231122,11E,12EE13,21E,22EE232312313,31E,32EE332312313211E11113121E22221231E3333123分析：(1),321,321即.,min3max1(2)当时，即为二向应力状态：03)(1211E)(1122E)(213E)0(3(3)当时，即为单向应力状态；0,032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：zyxzxyzyx,,,,,zyx,,zyxzxy,,三、广义胡克定律的一般形式:xyzxyyxyzzyzxxzxyzxyyxyzzyzxxz)]([1zyxxEGxyxy)]([1xzyyE)]([1yxzzEGyzyzGzxzx三个弹性常数E、G、μ之间的关系12EGxy广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向的正应变：901E90xy求出,就可求得方向的正应变90,例2、槽形刚体内放置一边长为a=10cm正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8kN，E=200GPa,μ=0.3。yF?,xyyxx,80MPaAFyMPayx24)]([1zyxxE.0zxyz解：1)研究对象：.??,,0zyx2)由广义虎克定律：].[10yxE.80,24,0321正方形钢块某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时,关于εx值的说法正确的是____.A.不变B.增大C.减小D.无法判定εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。AzyxxE1例3、yxzx圆轴扭转破坏分析材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；2、铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。1、低碳钢试件：沿横截面断开。,0n,0t2sin2cos设：ef边的面积为dA则´xntefbeb边的面积为dAcosαef边的面积为dAsinα0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0´若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；2cos;2sin分析：´45°:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！强度理论：13.5强度理论构件在静载荷作用下的两种失效形式：(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）。1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01－构件危险点的最大拉应力1－极限拉应力，由单向拉伸实验测得b00nb1强度条件b1断裂条件2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。01－构件危险点的最大伸长线应变1－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0E/)]([3211Eb/0强度条件][)(321nb断裂条件EEb)]([1321b)(321即无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限值。0ma