求极限的方法--毕业论文.

-1-毕业论文（设计）任务书课题名称求极限的方法和技巧指导教师姓名工作单位一、主要内容：通过运用极限的定义以及相关定理、性质来计算极限并通过例题的归纳总结出一些常见的求极限的方法和技巧。二、基本要求(基本技术要求与数据）根据极限性质和相关定理巧妙的运用相关技巧计算出极限的值。三、论文（设计）工作起始日期：自2012年11月15日起，至2013年4月30日止四、进度与应完成的工作：第一阶段：阅读书籍、查找资料（2012年11月15日—2012年12月31日）第二阶段：系统设计、论文初稿（2013年1月1日—3月10日）第三阶段：论文修改及电子档送检（2013年3月11日—3月20日）第四阶段：论文定稿、打印（2013年3月21日—4月15日）第五阶段：论文答辩准备及答辩（2013年4月16日—4月28日）五、主要参考文献、资料[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第三版.北京：高等教育出版社,2001.[2]吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解(多变量部分)[M].北京：科学出版社，2004.[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.武汉：崇文书局，2009.[4]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版，2005.-2-目录摘要...................................................................................................5Astract:……………………………………………………………………………6一、引言……………………………………………………………………………7二﹑相关定义与定理………………………………………………………………7三、极限的几个重要性质…………………………………………………………101、收敛数列的一些性质…………………………………………………………102、函数极限的相关性质…………………………………………………………10四、极限的方法与技巧及举例说明………………………………………………111、积分定义法求极限…………………………………………………………112、对数法求极限…………………………………………………………………113、利用等价无穷小求极限………………………………………………………124、利用两个重要极限求极限……………………………………………………125、利用数列与级数的关系求极限………………………………………………136、利用泰勒展开式求极限………………………………………………………137、单调有界定理…………………………………………………………………148、递推关系法……………………………………………………………………159、先求和后求限…………………………………………………………………1510、利用不等式…………………………………………………………………1611、洛必达法则…………………………………………………………………1612、中值定理法…………………………………………………………………1713、两边夹法则…………………………………………………………………1814、利用极限的四则运算法则求极限…………………………………………1815、施笃兹(stolz)定理…………………………………………………………1916、Euler常数法………………………………………………………………19五、总结………………………………………………………………………………20参考文献……………………………………………………………………………20致谢…………………………………………………………………………………21-3-求极限的方法与技巧龙丽丽摘要:极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数﹑定积分都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的。针对这种情况，本文通过例题总结﹑归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。关键词：极限;方法;技巧。-4-SkillsandmethodsoflimitLONGliliAbstract:Thelimitingconceptisoneoftheveryimportantconceptsinadvancedmathematics.Theotherimportantmathematicalconcepts,suchasderivative,definiteintegralarebasedonthisconcept.Thereforelimitisthebasicoperationinadvancedmathematics.Becauseofmostabstractnessoflimit,itisdifficulttoobtainlimitbytheconceptoflimit.Sincetheconceptoflimitexistsinthewholeadvancedmathematics,andmanyimportantconceptsarederivedfromthedefinitionoflimit,itisimportanttograspthemethodoflimit.Ontheotherhand,wecanalsousetheseconceptstoobtainsomelimits;thereforetherearevariouswaystoobtainlimits.Fromabovedescriptions,commonmethodsandsomeskillsofobtaininglimitaregeneralizedthroughexamplesinthisthesis.Somerelevantpropositionsandconclusionsarealsoextensivelyillustratedinthisthesis.Keywords:limit，method，skill.-5-一、引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。如函数的连续﹑导数﹑定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法﹑四则运算﹑洛必达法则、两边夹法则﹑单调有界定理﹑利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。二、相关定义与定理定义1[1]设na为数列,a为定数。若对任意的正数，总存在正整数N，使得当Nn时有|,naa|则称数列na收敛于a,定数a称为数列na的极限,并记作lim,nnaa或naan读作“当n趋于无穷大时,na的极限等于a或na趋于a”.若数列na没有极限,则称na不收敛,或称na为发散数列.定义2[2]设f为定义在,a上的函数,A为定数.若对任意的0,存在正数Ma,使得当xM时有()fxA则称函数f当x趋于时以A为极限,记作lim()xfxA,或()fxAx.定义3设函数f在点0x的某空心邻域0'0;Ux内有定义,A是一个确定常数.若0,0,总存在'x,满足'0oxx,且0()fxA，则称当0xx时,()fx以A为极限,记为0lim()xxfxA.-6-定义4设函数()fx在,oUa内有定义,A是一个确定的常数，若0，0,使当axa时,都有()fxA,则称函数()fx在x趋于+a时右极限存在,并以A为右极限记作lim()xafxA.有时也记(0)lim()xafafx.定理1〔单调有界定理〕在实系数中，有界的单调数列必有极限.定理2〔柯西收敛准则〕数列na收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当,nmN时有nmaa.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。定理3〔致密性定理〕有界数列必存在收敛子列。定理4〔施笃兹定理〕设数列ny单调递增趋于，11lim.nnnnnxxAyy（可以为无穷），则limnnnxAy.定理53〔有界变差数列收敛定理〕若数列nx满足条件：112212,3nnnnxxxxxxMn则称nx为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。定理6〔柯西准则〕设函数f在0'0;Ux内有定义.0limxxfx存在的充要条件是:任给0,存在正数',使得对任何'00,;xxUx有'fxfx.定理7设f为定义在00Ux上的单调有界函数,则右极限0limxxfx存在.定理8〔拉格朗日中值定理〕4设函数f满足如下条件:（1）f在闭区间,ab上连续；-7-（2）f在开区间〔,ab〕内可导,则在(,ab)内至少存在一点,使'()fbfafba.定理9〔积分第一中值定理〕设函数f在闭区间,ab上连续,则至少存在,,ab使得bafxdxfba.定理10〔推广的积分第一中值定理〕若f与g都在,ab上连续,且gx在,ab上不变号,则至少存在一点,,ab使得bbaafxgxdxfgxdx.(当1gx时,既为定理9).定理11〔欧拉定理〕5序列1111ln1,223nxnnn收敛.因此有公式1111ln23nCnn式中0.577216C称为欧拉常数,且当n时，0n定理12〔级数收敛定理〕若级数1nnu收敛,则lim0nnu定理13〔归结原则〕设函数f在0'0;Ux内有定义.0limxxfx存在的充要条件是:对任何含于0'0;Ux且以0x为极限的数列nx,极限limnnfx都存在且相等.注1归结原则也可简叙为:0lim()xxfxA对任何0nxxn有limnnfxA.注2归结原则是联系数列与函数的桥梁.-8-三、极限的几个重要性质1﹑收敛数列的一些性质（1）唯一性若数列na收敛,则它只有一个极限.（2）有界性若数列na收敛，则na为有界数列，即存在正数M，使得对一切正数n有naM.（3）保号性若lim0nnaa（或0a）任何'0,aa（或',0aa）存在正数N,使得当nN时有'naa（或'naa）.（4）保不等式性设nnab与均为收敛数列.若存在正数0N,使得当0nN时有nnab，则limlimnnnnab（5）迫敛性设数列{},nnab都以a为极限，且lim0nnb，若数列nc满足:存在正数0N,当0nN时有nnnacb,则数列nc收敛，且limnnca.（6）四则运算法则若na与nb为收敛数列,则{},{},.nnnnnnababab且有limlimlim,lim(.)lim.limnnnnnnnnnnnnnnabababab.特别当nb为常数c时有lim()lim,limlimnnnnnnnnacaccaca若再假设0nb及lim0nnb，则nnab也是收敛数列,且有limlim/limnnnnnnnaabb.2﹑函数极限的相关性质（1）唯一性若极限0limxxfx存在,则此极限是唯一的.（2）局部有界性若极限0limxx