期末复习专题(圆锥曲线)

圆锥曲线1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a(①)的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当②时，表示线段F1F2;当③时,不表示任何图形.2a＞|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|2.椭圆的标准方程(1)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为④.(2)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为⑤.3.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程x=⑥.y=⑦(φ为参数,a＞b＞0).2222xyab2222xybaF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)acosφbsinφ4.椭圆=1(a＞b＞0)的几何性质(1)范围：|x|≤a,|y|≤b，椭圆在一个矩形区域内；(2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.2222xyab(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|=⑧，短轴长|B1B2|=⑨;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率：e=⑩(0＜e＜1)，椭圆的离心率在内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于时,椭圆越圆;当离心率越接近于时，椭圆越扁平.2a2bca11(0,1)1301215.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且①)的点的轨迹叫双曲线，有||MF1|-|MF2||=2a.在定义中，当②时表示两条射线,当③时,不表示任何图形.0＜2a＜|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|6.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线:④,其中⑤,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)；(2)焦点在y轴上的双曲线:⑥,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).3.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的参数方程⑦.⑧(φ为参数).22221xyabc2=a2+b222221xyabx=asecφy=btanφ7.双曲线(a＞0,b＞0)的几何性质(1)范围：⑨,y∈R；(2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.22221xyab|x|≥a(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长⑩，虚轴长;一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率e=()；双曲线的离心率在(1,+∞)内，离心率确定了双曲线的形状.(5)渐近线：双曲线的两条渐近线方程为;双曲线的两条渐近线方程为.|A1A2|=2a11|B1B2|=2bca12e＞122221xyab1322221xyaby=±xba14y=±xab双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程.22220xyab22221xyab8.抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的①.2.抛物线的标准方程与几何性质准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴②.x轴y轴③.焦点F(,0)④.⑤.F(0,-)x轴y轴2pF(-,0)2pF(0,)2p2p离心率e=1e=1e=1e=1准线⑥.x＝y＝－⑦.焦半径x0+⑧.⑨.-y0x=-2p2p2py=2p2p2p-x02py0+2p9.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当d＞r时,直线与圆①;(2)当d=r时,直线与圆②;(3)当d＜r时，直线与圆③.10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.相离相切相交(1)当a≠0时,则有④,l与C相交;⑤,l与C相切;⑥,l与C相离;(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l⑦于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l⑧于抛物线的对称轴.Δ＞0Δ=0Δ＜0平行平行11.弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|=⑨=⑩.当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.2121||kxx12211||yyk12.曲线与方程的关系一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个①;(2)以这个方程的解为坐标的点均是②.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.方程的解曲线上的点13.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的③.(3)将动点M的坐标④,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)＝0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合代入几何条件注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；定义(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是()CA.椭圆B.圆C.线段F1F2D.直线F1F2课堂练习2.椭圆+=1的焦点坐标是,若弦CD过左焦点F1,则△F2CD的周长是.216x29y(±,0)716由已知，半焦距c==,故焦点坐标为(±,0),△F2CD的周长为4a=4×4=16.169773.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点(,0),离心率为的椭圆方程为.312=12234xyb=3e==a2=b2+c2又椭圆焦点在y轴上,故其方程为=1.a=2b=3.,解得依题设ca122234xy4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则｜PM｜的最大值为,最小值为.4依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴.775.椭圆=1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x=±(c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若｜MN｜≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是.2222xyab2ac［,1)22由已知|MN|=2·.又|MN|≤2|F1F2|,则2·≤4c,从而≥,故≤1,故e∈［,1).2ac2ac22ca1222ca22方法提炼方法提炼1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为+=1(m＞0,n＞0),或设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0).2xm2yn3.椭圆中有“两线”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a-c等).6.双曲线=1的实轴长是，焦点坐标是.22169yx8（0,±5)7.方程=1表示双曲线，则实数k的取值范围是.2211xykk(-∞,-1)∪(1,+∞)由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+k)·(1-k)0，求得k-1或k1.8.已知双曲线=1右支上一点P到左焦点F1的距离为12，则点P到右焦点F2的距离为;右支上满足上述条件的点P有个.222524xy21由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10，所以|PF2|=12-10=2.又焦点坐标F1（-7，0），F2（7，0），顶点坐标为（±5，0），所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.9.若双曲线=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率.2222xyabe=2由已知，两渐近线方程为y=±x,由两渐近线互相垂直得·(-)=-1,即a=b.从而e===.bababaca22aba210.若双曲线C的焦点和椭圆=1的焦点相同，且过点(3,2)，则双曲线C的方程是.22255xy2=122128xy由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x轴上，设双曲线C的方程为=1,a2+b2＝20a2=12=1b2=8,故所求双曲线的方程为=1.2222xyab则,求得2222(32)2ab22128xy方法提炼方法提炼1.a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a0,b0,c0.其中a与b的大小关系，可以为a=b,ab,ab.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系.3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上.4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性.5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).6.与双曲线共渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为(λa2,且λ≠-b2).7.双曲线的形状与e有关系:k====，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.22221xyab2222xyab22221xyab22221xyabba22caa221ca21e11.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距离比它到直线y-2=0的距离多1,则动点M的轨迹方程是.x2=-12y依题设，动点M到定点F(0,-3)的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，其轨迹方程为x2=-12y.12.抛物线y=-x2的焦点坐标是，准线方程是.y=1(0,-1)14抛物线的标准方程是x2=-4y，所以焦点坐标为（0，-1），准线方