河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测课件：10.7双曲线

第七节双曲线基础梳理1.双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a;②2a小于（2）上述双曲线的焦点是，焦距是.2.双曲线的标准方程和几何性质12FF、12FF12FF12FF、标准方程图形222210,0xyabab222210,0yxabab性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标顶点坐标渐近线离心率其中实虚轴线段叫做双曲线的实轴,它的长||=2a;线段叫做双曲线的虚轴,它的长||=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系,xaxayR或,xRyaya或12,0,,0AaAa120,,0,AaAabyxaayxb,1,ceea22cab12AA12AA12BB12BB2220,0cabcacb3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为(λ≠0)，离心率e=，渐近线方程为y=±x.22xy2典例分析题型一双曲线的定义及标准方程【例1】已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程.221:42Cxy222:42Cxy分析设动圆M的半径为r，则,则=定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.1122,MCrrMCrr1212MCMCrr解如图，设动圆M的半径为r，则由已知得，∴.又(-4,0),(4,0),∴.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点的双曲线的右支.∵a=,c=4,∴,∴点M的轨迹方程是12MCr22MCr1222MCMC1C2C12128,22CCCC1C1C2C222214bca2212214xyx学后反思（1）求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用定义法或者参数法来求轨迹方程.（2）在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支.举一反三1.如图，已知圆A的方程为,定点C(3,0),求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程.2234xy解析依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|＞|PC|,且|AC|=6＞2.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为(x≥1).2218yx题型二双曲线的几何性质【例2】为双曲线（a0,b0）的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P且∠=30°，求双曲线的渐近线方程.12,FF22221xyab2F12PFF分析由∠=30°,结合双曲线的定义分析三边关系，求出a、b间的关系，进而得出渐近线方程.12PFF1212,,PFPFFF解∴双曲线的渐近线方程为y=±x.21121222222222,2,23,2,3,31,2,2,PFmPFmFFcmPFPFamcabbeeaaabbaa设所以22221xyab2学后反思充分利用焦点三角形△中三边关系和双曲线渐近线的定义,能使问题迅速得到解决.12PFF举一反三2.（2009·宁夏、海南）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.2C.D.1221412xy33解析:双曲线的焦点坐标为（4，0）、（-4，0），渐近线方程为y=±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，答案:A221412xy34302331d题型三直线与双曲线2,212121【例3】(12分)求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.分析将直线方程设出，代入双曲线方程，消y可得关于x的方程，考虑到直线与双曲线只有一个公共点,因此，必须分所得方程是一次还是二次方程来讨论求解.解若直线的斜率存在，设为k,则所求直线方程为y-2=kx-,……………………………………..1′由y-2=k（x-）,①4x2-y2=1，②………………………………………………………2′将①代入②整理,得(4-k2)x2-2k（2-k）x-（k2-2k+5）=0.③…………………...4′(1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有Δ=0,4-k2≠0,即[-2k（2-k)]2-4(4-k2)-[-(k2-2k+5)]=0且k≠±2，解得k=.故所求的直线方程为y=x+……………………………………7′(2)当k=2时，方程③变为一次方程，且有唯一解,因而直线①和双曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y=2x+1………………8′(3)当k=-2时，同理可得直线方程为y=-2x+3,…………………….9′2121214121412525432,21（4）当斜率不存在时，因为点在直线x=上，且x=与双曲线只有一个公共点，故所求直线方程为x=……………………………………...11′综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y=x+,y=2x+1,y=-2x+3和x=……………………………………………………..………….122,21252143212121学后反思双曲线与直线的问题，往往需要设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题，因此，应注意两个问题：（1）所设直线的斜率是否存在；（2）消元后方程是否一定是二次方程.举一反三3.已知双曲线C:(a0,b0)，过右焦点F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D，E，求双曲线C的离心率e的取值范围.12222byax解析：由已知得,联立得设D(x1，y1)，E（x2,y2),则∵D，E在双曲线左、右两支上，∴x1x20,∴a4-b40，即a2b2，∴a2c2-a2,即2a2c2,∴e22，即e.)(:cxbayl1)(2222byaxcxbay.0)(2)(22224242242babcaxbcaxbab.)(4442242422222421babacababbabcaxx2错解方程可化为∴,即k=6.221,2xykk236,26222kkckk错解分析误认为k0，忘记讨论k的符号.正解当k0时，方程化为∴,得k=6.当k0时，方程化为,∴，解得k=-6.综上，k=-6或6.221,2xykk236,26222kkckk22231,22yxckkk6262k【例1】双曲线的焦距为6，求k的值.222xyk易错警示考点演练10设和为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠=60°，则△的面积是——.1F2F2214xy12FPF12FPF解析在△中，由余弦定理得12FPF1222201212122212121221212120122cos60,.20,4,4,1sin603.2FPFFFPFPFPFPFFFPFPFPFPFFFPFPFPFPFSPFPF又答案311.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，并且焦点都在圆上，求双曲线方程.4322100xy解析方法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为（a0,b0),因渐近线的方程为y=±x，并且焦点都在圆上，a=6，∴，解得b=8，∴双曲线的方程为.22221xyab4322100xy2243100baab2216436yx当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为（a0,b0），因渐近线的方程为y=±x，并且焦点都在圆上，a=8,∴,解得b=6,∴双曲线的方程为.22221yxab4322100xy2234100baab2216436yx2213664xy2216436yx综上,双曲线的方程为和方法二：设双曲线的方程为(λ≠0),从而有，解得λ=±576,所以双曲线的方程为和222243xy22100432213664xy2216436yx12.（创新题）双曲线（a＞1,b＞0）的焦距为2c,直线过点（a,0）和（0,b）且点（1，0）到直线的距离与点（-1，0）到直线的距离之和为s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.22221xyablll45解析：直线的方程为，即bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，且a＞1，得点（1，0）到直线的距离同理可得点（-1，0）到直线的距离∴由s≥c,得整理得解得，又e＞1，∴e的取值范围是l1xyabl1221badabl2221badab122222ababsddcab4522224,25abccacc即5a224212,425250eeee5a即25,54e5,52