一元二次方程解法讲义

史老师158155184311专题一元二次方程的解法教学目标1.理解一元二次方程及其有关概念2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1.一元二次方程的判定，求根公式2.一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1.一元二次方程的定义,一般形式，配方式2.熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3.一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax注：当b=0时可化为02cax这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式：当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。史老师158155184312考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如mxmmx其解为：,02※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x（2）7)132x（;09132x史老师158155184313（4）2221619xx（5）11162492xx例2、解关于x的方程：02bax3.下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、配方法基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0，47102xx的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。史老师158155184314类型三、因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2.（1）221694ba(平方差)(2)yxyxyx3234268(提公因式)（3）22)(4)(nmnm（平方差)（4）962aa(完全平方式)(5）223612yxxy(完全平方式)（6）4)(5)(2baba（十字相乘法）史老师158155184315（7）22127qpqp（十字相乘法）（8）32)2(2)2(5mnnmn(提公因式)例3、若044342yxyx，则4x+y的值为。例4、解下列方程(1)(2x–3)2=(3x–2)2(2)4x+145-x-52=23x+2(4)5m2–17m+14=0类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：史老师158155184316⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx.⑶22542yxyx说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=))((21xxxxa.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.史老师158155184317考点四、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ba、ba、ab、22ba之间的运算关系.例2、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例5、已知,是方程012xx的两个根，那么34.史老师158155184318测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.(A),x2=-1(B),(C)x1=x2=(D),x2=13.方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-24.用配方法解方程:正确的是().(A)(B)(C),原方程无实数解(D)原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是().(A)a=1,b=(B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=-,c=-2(D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.史老师158155184319（A）（B）（C）（D）都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12．（x+2）（x-2）=1.13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0.17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.史老师158155184311022．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法24．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x225、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？26、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少?史老师1581551843111一元二次方程讲义