几种特殊类型行列式及其计算(修正版)

1引言行列式不仅是高等代数的重要内容之一，也是学习其它学科的基础，成为很多学科和领域相当重要的工具，例如在物理学、化学、运筹学等探讨最优化方案时，正是因为成功的应用了行列式来解方程组，才使得问题简单化了，由此可见行列式的计算是一个重要的问题，但同时它也是个比较复杂的问题，特别是高阶行列式，是工程计算中不可或缺的一部分，所以有必要深入研究和归纳高级行列式的计算方法.对这一重要问题，很多文献资料已经做了一些讨论，并给出了相应的结论，如文献[3]讨论了行列式的基本计算方法和技巧，给出了“化零”和“降阶”的基本思想，即先利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多零元素，文献[1][10]等具体概括了一些有相同规律的行列式的计算方法，如三线型行列式、两三角型行列式、范德蒙德行列式等.文献[2][9]等通过一些实例的研究，给出了一些重要方法如化三角形法、降阶法、加边法、递推法、数学归纳法等.大部分行列式可以通过变换化为具有某种特点的行列式，进而用相对简便的方法进行计算.本文在上述文献的基础上，首先根据行列式的形态特征对行列式进行分类，总结出几种有某种特点的特殊行列式，再根据不同类型行列式的特点给出相应的计算方法.这样使高阶行列式的计算得到进一步的归纳总结.具有一定的理论意义及应用价值.特别声明:本文是根据原文档修正而来，只为弥补前人的一点笔误，不涉及版权问题；另外本人从各种线性代数资料对比发现，此文档特别适合解决江西高校出版社出版的第一版线性代数教材的第一章课后习题修正人：刘传钦学习单位：东华理工大学修正时间：2017年9月17日21行列式的定义及性质1.1定义[3]n级行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积1212njjnjaaa(1)的代数和,这里12njjj是1,2,,n的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12njjj是偶排列时,(1)带正号，当12njjj是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成121212111212122212121nnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa这里12njjj表示对所有n级排列求和.1.2性质[4]性质1.2.1行列互换,行列式的值不变.性质1.2.2某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.性质1.2.4两行(列)对应元素相同,行列式的值为零.性质1.2.5两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质1.2.6某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变.性质1.2.7交换两行(列)的位置,行列式的值变号.32行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式123231111001000100nnnaaDaaaaa.解将第一列减去第二列的21a倍，第三列的31a倍第n列的1na倍，得122311111000000000nnnaaaaDaa1221nniiiiaaa.2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当bc时可以化为上面列举的爪形来计算，当bc时则用拆行(列)法[9]来计算.例2计算行列式123nnacccbaccDbbacbbba.4解当bc时123nnabbbbabbDbbabbbba.将第2行到第行n都减去第1行，则nD化为以上所述的爪形，即112131000000nnabbbbaabDbaabbaab.用上述特征1的方法，则有112121311000000000niinnabbaabbaabDbaabbaab11111nniiiniiabbabababab.当bc时，用拆行(列)法[9]，则112233000nnnxaaaxaaabxaabxaaDbbxabbxabbbxbbbbxb112233000nxaaxaaabxabxaabbxbbxabbbxbbbbb512110000nnnxaabaxaaxbDababaxaab.化简得1211nnnnDbxaxaxaxbD.1而若一开始将nx拆为naxa，则得1211nnnnDaxbxbxbxaD.2由12nnxbxa，得111nnnijijDaxbbxaab.有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3计算行列式2ndbbbcxaaDncaxacaax.解将第一行ab，第一列ac，得22nadaaabcaxaabcDaaxaaaaax.即化为上21情形，计算得121nnnDdxanadbcxa.而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公6共因子的，则用升阶法[8]来简化.例4计算行列式2112122122212111nnnnnnxxxxxxxxxxDxxxxx.解将行列式升阶，得1221121221222121010101nnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxxxx.将第i行减去第一行的ix2,,in倍，得12121100010001nnnxxxxDxx.这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得21211010000100001nininxxxxD211niix.2.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.例5计算行列式7112211nnnnnababDabba.解按第一列展开可得2213322111111111nnnnnnnnnnabbababDabababaab112121nnnaaabbb.例6计算行列式111121111nnnnnnnnnabababDcdcdcd.解方法1直接展开可得111111111221111111100100nnnnnnnnnnnnnnababababDacdbcdcdcddc811112111111111111111nnnnnnnnnnnnnababababadbccdcdcdcd21nnnnnadbcD.则2111121221nnnnnnnnnnnnnniiiinniDadbcDadbcadbcDadbc.方法2(拉普拉斯定理法[3])按第一行和第2n行展开得11121211211111nnnnnnnnnnnabababDcdcdcd21nnnnnadbcD.其余的同法1.2.4Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.例7计算行列式1231110000220022000011nnnDnnnn.解将各列加到第一列得912312010000220022000011nnnnnDnnnn.按第一列展开得10002200122200011nnnDnnnn111!(1)(2)(1)122nnnn.2.5三对角型行列式形如nabcabDcbca的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法[5].例8计算行列式nabcabDcbca.解按第一列展开有12nnnDaDbcD解特征方程20xaxbc得再将各列加到第一列(重复操作)10221244,22aabcaabcxx.则11121212,nnnxxDxxxx.例9计算行列式95499549nD.解按第一行展开得19200nnDD.解特征方程得124,5xx.则1145nnnDab.分别使1,2n得16,25,ab则1154nnnD.2.6各行(列)元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n行(列)，提取公因式后，再把每一行(列)都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.例10计算行列式111222111nnnnaaaaaaDaaa.解将第2行到第n行都加到第1行，得1111122211111nnnnnnnaaaaaaaaaDaaa2221111111nnnnaaaaaaaa2110010101nnaaaa11naa.2.7相邻两行(列)对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n(列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.若相邻两行(列)元素相差倍数k，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k倍，可使行列式出现大量的零元素.例11计算行列式0122110132210432340112310nnnnnnnDnnnnnn.解依次用前行减去后行，可得1111111111111111111112310nDnnn.现将第1列加到第2列至第n列，得每一列都减去第一列按第一行展开1210000120001220012220123241nDnnnnn221nn.例11计算n阶行列式221132214323423111111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa.解这是相邻两行(列)相差倍数a，可采用前行减去后行的a倍的方法化简得231100000100000100000101nnnnnnaaaDaaaaa11nna.2.8范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算.例12计算行列式1111111111222222111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaababbaababbDabaababb.解将第i行提出nia，得13111122112211111111nnnnniinnnnnbbaabbDaaabbaa11