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专题三三角函数3.1三角函数的概念、图象和性质-3-12345三角函数的定义及应用高考真题体验·对方向1.(2014全国Ⅰ·2)若tanα0,则()A.sinα0B.cosα0C.sin2α0D.cos2α0答案:C解析:由tanα0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin2α=2sinαcosα0;当α是第三象限角时,sinα0,cosα0,仍有sin2α=2sinαcosα0,故选C.-4-123452.(2011江西·14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-255,则y=.答案:-8解析:根据题意sinθ=-2550及P(4,y)是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角.再由三角函数的定义得,𝑦42+𝑦2=-255,又∵y0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).综上知y=-8.-5-12345新题演练提能·刷高分1.(2018上海长宁、嘉定一模)设角α的始边为x轴正半轴,则“α的终边在第一、二象限”是“sinα0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:α的终边在第一、二象限能推出sinα0,当sinα0成立时能推出α的终边在第一、第二象限及在y轴的非负半轴上,故“α的终边在第一、二象限”是“sinα0”的充分不必要条件,选A.-6-123452.(2018河北衡水中学模拟)若sinθcosθ0,tan𝜃sin𝜃0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案:D解析:由tan𝜃sin𝜃0,得1cos𝜃0,即cosθ0.又sinθcosθ0,所以sinθ0,所以θ为第四象限角,选D.-7-123453.(2018安徽合肥第二次质检)在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点Psin5π3,cos5π3,则sin(π+α)=()A.-32B.-12C.12D.32答案:B解析:由诱导公式可得sin53π=sin2π-π3=-sinπ3=-32,cos53π=cos2π-π3=cosπ3=12,即P-32,12,由三角函数的定义可得sinα=12(-32)2+(12)2=12,则sinπ+α=-sinα=-12.-8-123454.(2018重庆模拟)已知扇形OAB的圆周角为4rad,其面积是4cm2,则该扇形的弧长是()A.8cmB.4cmC.82cmD.42cm答案:A解析:设扇形的半径为r,若扇形OAB的圆周角为4rad,则扇形OAB的圆心角为8rad,则根据扇形的面积公式可得S=·8r2=4,得r=1.故扇形的弧长是1×8=8,故选A.125.(2018江苏泰州期中)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=45,则x的值为.答案:-8解析:因为r=(-𝑥)2+(-6)2,所以-𝑥𝑥2+36=45,解得x=-8.-9-123456.(2018山东菏泽一模)已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a0),则25sinα-7tan2α的值为.答案:-39解析:∵角α的终边经过点P(4a,3a)(a0),∴x=4a,y=3a,r=(4𝑎)2+(3𝑎)2=-5a.∴sinα=3𝑎-5𝑎=-35,tanα=3𝑎4𝑎=34,∴tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=2×341-(34)2=247,∴25sinα-7tan2α=25×-35-7×247=-39.-10-12345三角恒等变换、化简与求值高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·4)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案:B解析:cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.2.(2017全国Ⅲ·4)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79B.-29C.29D.79答案:A解析:sin2α=2sinαcosα=(sin𝛼-cos𝛼)2-1-1=-79.故选A.-11-123453.(2017全国Ⅲ·6)函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为()A.65B.1C.35D.15答案:A解析:因为cos𝑥-π6=cosπ2-𝑥+π3=sin𝑥+π3,所以f(x)=15sin𝑥+π3+sin𝑥+π3=65sin𝑥+π3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.-12-123454.(2016全国Ⅲ·6)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45答案:D解析:(方法1)cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2𝜃-sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1-tan2𝜃1+tan2𝜃=1--1321+-132=45.故选D.(方法2)∵tanθ=-13,∴sin𝜃cos𝜃=-13,即3sinθ=-cosθ.两边平方得9sin2θ=cos2θ,即9×1-cos2𝜃2=1+cos2𝜃2,解得cos2θ=45.-13-123455.(2016全国Ⅱ·11)函数f(x)=cos2x+6cosπ2-𝑥的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案:B解析:因为f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sin𝑥-322+112,而sinx∈[-1,1],所以当sinx=1时,f(x)取最大值5,故选B.-14-123456.(2018全国Ⅱ·15)已知tan𝛼-5π4=15,则tanα=.答案:32解析:∵tan𝛼-54π=tan𝛼-tan54π1+tan𝛼tan54π=tan𝛼-11+tan𝛼=15,∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=32.-15-123457.(2017全国Ⅱ·13)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案:5解析:因为f(x)=2cosx+sinx=525cos𝑥+15sin𝑥=5sin(x+φ)(其中tanφ=2),所以f(x)的最大值为5.-16-123458.(2017全国Ⅰ·15)已知α∈0,π2,tanα=2,则cos𝛼-π4=.答案:31010解析:由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15.因为α∈0,π2,所以cosα=55,sinα=255.因为cos𝛼-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4,所以cos𝛼-π4=55×22+255×22=31010.-17-123459.(2017江苏·5)若tan𝛼-π4=16,则tanα=.答案:75解析:(方法1)tanα=tan𝛼-π4+π4=tan𝛼-π4+tanπ41-tan𝛼-π4·tanπ4=16+11-16×1=75.(方法2)因为tan𝛼-π4=tan𝛼-tanπ41+tan𝛼·tanπ4=tan𝛼-11+tan𝛼=16,所以tanα=75.-18-1234510.(2016全国Ⅰ·14)已知θ是第四象限角,且sin𝜃+π4=35,则tan𝜃-π4=.答案:-43解析:∵sin𝜃+π4=35,∴cos𝜃-π4=cos𝜃+π4-π2=sin𝜃+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin𝜃-π4=-45.∴tan𝜃-π4=-43.-19-12345新题演练提能·刷高分1.(2018山东菏泽期末)已知α∈3π2,2π,sinπ2+α=13,则tan(π+2α)=()A.427B.±225C.±427D.225答案:A解析:∵α∈3π2,2π,sinπ2+α=cosα=13,∴sinα=-223,tanα=-22.∴tan(π+2α)=tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=-42-7=427.故选A.-20-123452.(2018陕西咸阳一模)已知α为第二象限角,且sinα+cosα=15,则sinα-cosα=()A.75B.-75C.±75D.4925答案:A解析:由sinα+cosα=15,可得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125,所以2sinαcosα=-2425.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925.又因为α为第二象限角,则sinα0,cosα0,所以sinα-cosα0,所以sinα-cosα=75,故选A.-21-123453.(2018江西上饶二模)sin65°-sin35°cos30°cos35°=()A.-32B.-12C.12D.32答案:C解析:由题得sin(35°+30°)-sin35°cos30°cos35°=cos35°sin30°cos35°=sin30°=12,故选C.-22-123454.(2018山东济南一模)若sinA+π4=7210,A∈π4,π,则sinA的值为()A.35B.45C.35或45D.34答案:B解析:因为A∈π4,π,所以A+π4∈π2,5π4,所以cosA+π40,且cosA+π4=-1-sin2(𝐴+π4)=-210,所以sinA=sinA+π4-π4=sinA+π4cosπ4-cosA+π4sinπ4=45,选B.-23-123455.(2018宁夏石嘴山一模)若tanα+π4=-3,则cos2α+2sin2α=()A.95B.1C.-35D.-75答案:B解析:∵tanα+π4=tan𝛼+11-tan𝛼=-3,∴tanα=2,∴cos2α+2sin2α=cos2𝛼-sin2𝛼cos2𝛼+sin2𝛼+4sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+sin2𝛼=1-tan2𝛼1+tan2𝛼+4tan𝛼1+tan2𝛼=1.-24-123456.(2018安徽江淮十校4月联考)已知tanπ4-α=43,则sin2π4+α=()A.725B.925C.1625D.2425答案:B解析:由题意得tanπ4-α=1-tan𝛼1+tan𝛼=43,解得tanα=-17.而sin2π4+α=1-cos2(π4+𝛼)2=1+sin2𝛼2=12+sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=12+tan𝛼1+tan2𝛼=925,选B.-25-123457.(2018山西太原期末)已知sinπ3-α=23,那么cosπ3+2α=()A.-59B.-23C.23D.59答案:A解析:依题意有cos2π3-2α=cos2π3-α=1-2sin2π3-α=59,故cosπ3+2α=cosπ-2π3-2α=-cos2π3-2α=-59.-26-123458.(2018江西教学质量监测)已知sinα=-35,且α是第三象限角,则tan2α的值为.答案:247解析:由题意得,根据三角函数的平方关系得cosα=-1-sin2𝛼=-45,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=34,tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=247.9.(2018广东一模)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m=.答案:-3解析:由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10°=-2cos(30°+10°)-sin10°cos10°=-3cos10°cos10°=-3.-27-12345根据三角函数图象确定解析式高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅱ·3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2𝑥-π6B.y=2sin2𝑥-π3C.y=2sin𝑥+π6D.y=2sin𝑥+π3-28-12345答案:A解析:由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).方法一:因为函数图像过点π3,2,所以2=2sin2×π3+𝜑.所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2𝑥-π6,故选A.-29-12345方法二:因为函数图像过点-π6,-