2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷及答案(北京卷)

12015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测试题（北京卷）（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合},4)1(|{2NxxxM，P｛-1，0，1，2，3｝，则PM=（）A．｛0，1，2｝B．｛-1，0，1，2｝C．{-1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+∞）上单调递减的是（）A．1yxB．xyeC．21yxD．lg||yx3.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)4．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55.某程序框图如图所示，若输出的S＝120，则判断框内为()A．k＞4?B．k＞5?C．k＞6?D．k＞7?6．函数xxxf1log)(2的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7.动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋22＋1总有公共点，则圆C的面积()A．有最大值8πB．有最小值2πC．有最小值3πD．有最小值4π8.对向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)定义一种运算“⊗”：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知动点P，Q分别在曲线y＝sinx和y＝f(x)上运动，且OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，若向量m＝(12，3)，n＝(π6，0)，则y＝f(x)的最大值为()2A.12B．2C．3D.3第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.）9.复数ii(113为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是__________10.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．12．在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2,4aA，3B，则△ABC的面积为________S.13.若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则z＝x－y的最小值是．14.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15、（本题满分13分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求an和Sn；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝Snn＋c，求非零常数c.16、（本题满分13分）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.3(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈π2，π时，若f(α)＝22，求α的值．17、（本题满分14分）如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.18.（本题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通；T∈[4,6)轻度拥堵；T∈[6,8)中度拥堵；T∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个；(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．19.（本题满分14分）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，右焦点到直线x＋y＋6＝0的距离为23.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足NA＝－75NB，求直线l的方程．20.（本题满分13分）设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．45文科答案选择题1.【答案】A【解析】试题分析：由4)1(2x，解得：-1＜x＜3，即M={x|-1＜x＜3}，∵N={-1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A．2.【答案】C【解析】1yx在（0，+∞）上是减函数，但在定义域内是奇函数，故排除A；xye在（0，+∞）上是减函数，但不具备奇偶性，故排除B；21yx是偶函数，且在（0，+∞）上为减函数，故选C；lg||yx在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，但在（0，+∞）上为增函数，故排除D．3.解析：选AMN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以x－5＝－3，y＋6＝6，即x＝2，y＝0，选A.4.解析：选C命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5.解析：选B依题意，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k＝4＋1＝5，S＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k＝5＋1＝6，S＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k＞5？”，选B.6.【答案】B【解析】∵111102122ff（）,（）,∴f（1）•f（2）＜0．根据函数的实根存在定理得到函数xxxf1log)(2的一个零点落在（1，2）上故选B．7.解析：选D设圆心C(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝14b2，∴圆心C14b2，b，r＝14b2＋1，圆心到直线y＝x＋22＋1的距离为d＝b24－b＋22＋12≤b24＋1，∴b≤－2(22＋3)或b≥2.当b＝2时，rmin＝14×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.8.选C设P＝(x1，y1)，Q＝(x，y)，∵m＝(12，3)，6∴m⊗OP＝(12，3)⊗(x1，y1)＝(x12，3y1)，∵OQ＝m⊗OP＋n，∴(x，y)＝(x12，3y1)＋(π6，0)，∴x＝x12＋π6，y＝3y1，∴x1＝2x－π3，y1＝y3，又y1＝sinx1，∴y3＝sin(2x－π3)，∴y＝3sin(2x－π3)，显然当sin(2x－π3)＝1时，y＝f(x)取得最大值3.填空题9.【答案】(1,1)【解析】4331111iiii，共轭复数为1i，对应的点为(1,1).10.【解析】：=1．解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为=1．故答案为：=1．11.【答案解析】12解析：该几何体是两个全等的斜四棱柱对接而成的几何体，其中每个四棱柱是底面邻边长分别为3,2的长方形，高为1，所以该几何体的体积为：2321=12..12.【答案】433【解析】试题分析：由题意有2sinsin43b，解得3b，又512CAB，所以71sin2SabC1523sin212334．13.解析：zmin＝－3.作出不等式组x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.14.解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、315.解：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，∴a1＋2d＝9，a1＋3d＝13，∴a1＝1，d＝4.∴通项公式an＝4n－3.∴Sn＝na1＋nn－12×d＝2n2－n.(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c，∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c.∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即62＋c×2＝11＋c＋153＋c，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12或c＝0(舍去)，故c＝－12.16.解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)8＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.17.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝12CD，而AM∥CD，且AM＝12AB＝12CD，∴NE綊AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.18.解：(1)补全直方图如图：9由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.∴这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个．(2)由(1)知拥堵路段共有6＋9＋3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选取的1个严重拥堵路段为C1，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(