2、2014年北京各区一摸新概念新定义(学生版)

1/825.定义1：在ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC的“有向面积”。“有向面积”用S表示，例如图1中，ABCABCSS，图2中，ABCABCSS。定义2：在平面内任取一个ABC和点P（点P不在ABC的三边所在直线上），称有序数组（PBCS，PCAS，PABS）为点P关于ABC的“面积坐标”，记作()PBCPCAPABPSSS，，，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，=60ABC，则3ABCS，点D关于ABC的“面积坐标”()DBCDCADABDSSS，，为(333)D，，。在图3中，我们知道ABCDBCDABDCASSSS，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：ABCDBCDABDCASSSS。应用新知：（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则ABCS，点D关于ABC的“面积坐标”是；探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy中，点(02)A，，(10)B，.①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于ABO的“面积坐标”为()Pmnk，，，试探究mnk与ABOS之间有怎样的数量关系，并说明理由；②若点()Pxy，是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于ABO的“面积坐标”（用xy，表示）；解决问题：（3）在（2）的条件下，点(10)C，，(01)D，，点Q在抛物线224yxx上，求当QABQCDSS的值最小时，点Q的横坐标。ABC图1ABC图2图3ABCDBCDA2/825．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（bak，kab）（其中k为常数，且0k），则称点P为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+42，214），即P（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P的坐标为____________；②若点P的“k属派生点”P的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点，且△OPP为等腰直角三角形，则k的值为____________；（3）如图,点Q的坐标为（0，43），点A在函数B的“3属43yx（0x）的图象上，且点A是点派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．3/825．我们规定：形如axkyxb（a、b、k为常数，且kab）的函数叫做“奇特函数”．当0ab时，“奇特函数”axkyxb就是反比例函数0kykx．（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(9,0)、(0,3)．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”6axkyx的图象经过B，E两点．①求这个“奇特函数”的解析式；②把反比例函数3yx的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象．线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．yxEDCBAO4/825.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.yxDCBAOP图1yxABCDO备用图形图2yxDCBAOP图3yxPABCDO5/825．设pq，都是实数，且pq．我们规定：满足不等式pxq≤≤的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为pq，．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当pxq≤≤时，有pyq≤≤，我们就称此函数是闭区间pq，上的“闭函数”．（1）反比例函数2014yx是闭区间12014，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数0ykxbk是闭区间mn，上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足cd，且2d，当二次函数2122yxx是闭区间cd，上的“闭函数”时，求cd，的值．6/825．对于平面直角坐标系中的任意两点111222P(,)xy（x,y）,P，我们把1212xxyy叫做12PP、两点间的直角距离，记作12dP（P，）.(1)已知O为坐标原点，动点(,)pxy满足(,)dOP=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；(2)设000P（x,y）是一定点，(,)Qxy是直线y=ax+b上的动点，我们把0(,)dPQ的最小值叫做0P到直线y=ax+b的直角距离．试求点(2,1)M到直线y=x+2的直角距离．(0,-1)(0,1)(1.0)(-1,0)Oxy7/825．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”Sah.例如：三点坐标分别为)2,1(A，)1,3(B，)2,2(C，则“水平底”5a，“铅垂高”4h，“矩面积”20Sah．（1）已知点)2,1(A，)1,3(B，),0(tP．①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）已知点)0,4(E，)2,0(F，)4,(mmM，)16,(nnN，其中0m，0n.①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．8/825．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，23BC,27AB.求证：△ABC是“匀称三角形”；图1（2）在平面直角坐标系xoy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G,每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧.在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由.