第二节 样本空间 随机事件

概率论与数理统计主讲：秦茂玲手机：[phone]Email：[e-mail]第一章概率论的基本概念第一节随机试验第二节随机事件样本空间第三节频率与概率第四节等可能概型（古典概型）第五节条件概率小节第六章独立性绪论第一章概率论的基本概念在一定条件下必然发生的现象向空中抛一物体必然落向地面；水加热到100℃必然沸腾；异性电荷相吸引；放射性元素发生蜕变；在试验或观察前无法预知出现什么结果抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上；向同一目标射击,各次弹着点都不相同；某地区的日平均气温；掷一颗骰子，可能出现的点数；………………()yfx研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科绪论二、小结一、随机试验第一节随机试验第一节随机试验定义一：所谓随机试验是指具有下面三个特点的试验：（1）可以在相同的条件下重复进行。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验在本课中简称为试验，常用E表示。例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一枚骰子，观察出现的点数。E5：纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。E7：纪录某地一昼夜的最高温度和最低温度。二、小结随机现象的特征:1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.随机试验一、样本空间样本点三、随机事件间的关系及运算二、随机事件的概念四、小结第二节样本空间、随机事件定义随机试验E的所有可能的结果构成的集合称为E的样本空间，记为S,或Ω。样本空间的元素，称为样本点。样本点用e或表示，即S={e}。1.讨论一个样本空间中的样本点的数目，有三种可能：有限个，可数无穷个或不可数无穷个。一、样本空间样本点注释:2.概率论基本事件等概念与集合论中元素等的对应关系表：概率论集合论记号样本点元素ei(i)基本事件单元素集{ei}样本空间全集S,(Ω)随机事件子集A不可能事件空集Φ目的例：写出E1到E7的样本空间：S1：{H,T}S2：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3：{0,1,2,3}S4：{1,2,3,4,5,6}S5：{0,1,2,3,……}S6：{t|t≥0}S7：{(x,y)|T0≤x≤y≤T1}2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为.}3,2,1,0{S}.,,,,,,,{TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.},{THS所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.定义二随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.一般用大写字母A,B,C等表示。若试验后的结果ω∈A,则称事件A发生,否则称A不发生.例：1.“掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超过2”等都是随机事件；2.在“测试灯泡寿命”这一试验中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，；二、随机事件随机事件分为两类：（1）基本的结果：即最简单的结果，可直接观察到。（2）复合的结果：由基本的结果组合而成。定义三在试验中,可直接观察到的结果称为基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，简称事件。特别（1）不可能事件：在试验中不可能出现的事件，记为Ф。如掷色子“出现6”的事件。（2）必然事件：在试验中必然出现的事件，记为SorΩ。如掷色子“出现6”的事件。几点说明例如抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.(1)随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,来表示事件(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件互为对立事件将不能再细分的试验基本结果看作样本点;而样本点看作集合的元素；全部基本结果构成样本空间;而样本空间看作全集；将随机事件表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的子集；基本事件是由一个样本点组成的单元集;必然事件看作全集,不可能事件看作空集；将样本点(元素)属于集合表示事件发生,就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算.(3)随机事件与集合的对应1.包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。2.A等于B若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。3.事件A与B的并(和事件)‘事件A与事件B至少有一个发生’是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为:A∪B={e|e∈A，或e∈B}三、事件间的关系及运算：.),2,1(,,,的子集是而的样本空间为设试验SkABASEk实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.推广：事件的和可推行至有任意有限和可列个事件的和的情况。例袋中有5个白球，三个黑球，从中任取3个球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则C=AB.D=A1A2A3nnkkAAAA211nkkAAAA211若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3个球中恰有i个白球”,D表示“取出的3个球中至少有一个白球”，则4.事件A与B的交(积事件)称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。推广：nnkkAAAA211nkkAAAA211例在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录其坐标，令2221|),(nyxyxAn,B表示取到(0,0)点，则1kkAB5、差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为A-B={e|e∈A，eB}例从1,2,3,N这N个数字中，任取一数，取后放回，先后取k个数(1kN),令A=“取出的k个数中最大数不超过M”(1MN),B=“取出的k个数中最大数不超过M-1”，C=“取出的k个数中最大数为M”，则C=A-B,且BA6、互不相容（互斥）事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。推广对有限个事件或可列个事件A1，A2，…，An…，如果对任意ij,AiAj＝Φ,则称A1，A2，…，An或A1，A2，…，An…两两互不相容。7、逆事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。易见A与Ā满足：A∪Ā=S,且AĀ=Φ。一般地，若A，B满足：A∪B=S，AB＝Φ称为A与B互为对立事件，此时，A为B的逆事件，B为A的逆事件，即A=ََََََB,B=Ā。若A，B互为对立事件，那么在每次试验中，事件A，B必有一个发生且仅有一个发生，显然Ā={e|eA}，A-B=َBA=A-AB。ĀA注意：4.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有A、B互为对立事件。例将n个人任意分配到N个房间(nN),令A表示“恰有n个房间各有一人”，B表示“第一个房间恰有两人”，从而AB=,但B不等于Ā。相关性质还有：1.Ā=S-A，S=，=S;2.若AB，则BĀ;3.AB=AĀB，ABC=AĀBĀBC;4.若A、B互为对立事件，则A、B互不相容。在进行事件的运算时，经常要用到下述定律，设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）德摩根律：BABABABA8、事件运算的性质：例设A、B是两事件，证明(1).B=ABĀB,且AB与ĀB互不相容；(2).AB=AĀB,且A与ĀB互不相容.证明:(1)ABĀB=(AĀ)B=SB=B,(AB)(ĀB)=(AĀ)B=.(2)AĀB=AABĀB=A(ABĀB)=AB,A(ĀB)=(AĀ)B=.事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。例1:袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件Ａ为“抽得一张标号不大于４的卡片”，事件Ｂ为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件Ｃ为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ-Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ解:将Ａ,Ｂ,Ｃ表示集合形式为Ａ＝｛１,２,３,４｝,Ｂ＝｛２,４,６,８｝,Ｃ＝｛１,３,５,７｝所以Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,４,６,８｝(Ａ∪Ｂ)Ｃ＝｛１,３｝ＡＢ＝｛２,４｝;Ａ-Ｂ＝｛１,３｝Ｂ-Ａ＝｛６,８｝Ｂ∪Ｃ＝｛１,２,３,４,５,６,７,８｝例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：（1）A,B,C,D至少有一个发生；（2）都不发生；（3）都发生；（4）A,B,C,D恰有一个发生；（5）至多一个发生。解:（1）A∪B∪C∪D或（2）或（3）ABCD或（4）（5）DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBA）（4DCBA随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件四、小结1.随机试验、样本空间与随机事件的关系解：在如图的电路中，信号灯亮当且仅当接点Ⅰ闭合且Ⅱ与Ⅲ中至少有一个闭合，因此由事件的运算，易得A=B∩(C∪D)信号灯不亮当且仅当Ⅰ断开或Ⅱ，Ⅲ都断开，故ⅠⅡⅢ例3:如图所示的电路中，以A表示事件“信号灯亮”，B，C，D分别表示事件：继电器接点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合，以B，C，D表示A及Ā。CDBA2.概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论S样本空间，必然事件空间不可能事件空集e基本事件元素A随机事件子集AA的对立事件A的补集BAA出现必然导致B出现A是B的子集BA事件A与事件B相等集合A与集合B相等BA事件A与事件B的差A与B两集合的差集AB事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素BA事件A与事件B的和集合A与集合B的并集AB事件A与事件B的积事件集合A与集合B的交集