9.7《直线和平面所成的角与二面角》课件3

9.7二面角的平面角(第一课时)二面角的定义二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的画法:AB平卧式直立式AB定义：一个平面垂直于二面角—l—的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足，则∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的平面角定义探索二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:1800loABABOγβαιOAB平面角是直角的二面角叫做直二面角,相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.用二面角的定义直接判断1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是ABCP2.已知棱长都为1的四面体P—ABC，求面PAB与面ABC的所成角。PABCD二面角的平面角求法探索问题1:二面角的平面角就是其中一个平面内的直线与另一个平面的所成角吗?问题2:其中一个平面内的直线满足什么样条件的直线与另一个平面的所成角就是二面角的平面角?PA与棱垂直的直线l二面角的平面角求法三垂线法OAPl;,,lAOlAPAOAPPO则若内的射影为在平面斜线平面用三垂线法求二面角平面的关键:找或作PO,我们把PO叫做二面角的“撑柱子”.OPAlOPAl.,lAPlAO则若例题1:用三垂线法找二面角的平面角D1C1B1A1DCBA;)1(1所成的角二面角CDBCo;)2(1所成的角二面角BCBDE找柱子的所成角。作出二面角并且平面外所在的在已知点BACPABPCPBPAABCBCP,10,30,90.200ABCPDE例3:三棱锥p—ABC中，PA⊥平面ABC，PA﹦3，AC﹦4，PB﹦PC﹦BC,求二面角A—PC—B的大小。PABCFE53153,,arccos.284BFEF例题2随堂练习定义法)(找撑柱子三垂线法731.773.53.43.)(tan,4,3,.1DCBAABCCAB　　　　　　　　　　　　　的值那么的距离为到棱点距离为的到内一点的平面角是锐角已知二面角2、如图，AB=AC=2a,BC=0.5a,将等腰三角形纸片沿BC上的高AD折成600的二面角,求二面角A-BC-D的大小.ABCDABCD二面角平面角的小结1.二面角的定义;2.二面角的平面角的求法;三垂线法谁能小结一下用三垂线求二面角的过程？其中关键是什么？一找：找二面角的平面角，用三垂线定理求的关键在于找“撑柱子”；二证：证明找到的角就是二面角的平面角；三求：求出找到的平面角的大小，这里用到平面几何的一些定理。AOD例1已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。3解：过A作AO⊥于O，过A作AD⊥l于D，连OD则由三垂线逆定理得OD⊥l3∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，43223AOAD①②③l二面角B--B’C--ABACDOEA’AB’C’CD’DBO二面角A--BC--DABCD21二面角B--AD--C112设AB=1，则22OBAE=3OE练习：OPAOAFENMPOPA例1在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。ABCD∴∵AC⊥AB，BD⊥AB＜AC，BD＞=60。=CA+AB+BD2==62+42+82+2×6×8×cos120.AC.AB=BD.AB=0又∵CD=CA+AB+BDCA+AB+BD222+0+0+2CA.BD∴CD2=36+16+64-48=68∴CD=217＜CA，BD＞=120。解：(cm)注：要求CD长，用向量法即求，CDCD=CA+AB+BD要求CD，须先用已知向量CAAB、BD表示它，即：根据a2=a。a求出结果.根据a⊥ba。b=0按此继续由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节由左侧进入下一环节二面角AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。3解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥l3∴AO=2，AD=4∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，①作②证③计算17④结论例2已知在一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝6cm，求CD的长。ABCDE变：⑴如图二面角α－l－β中，CA⊥l于A，BD⊥l于B，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝6cm，CD＝，求二面角α－l－β的大小。cm132ABCDαβlEcm132•⑵如图在60°的二面角α－l－β中CA⊥l于A，BD⊥l于B，又知AC＝6cm，BD＝6cm，CD＝，求CD在棱l上的射影AB的长。例1在三棱锥A—BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，AB﹦BC﹦BD﹦1，∠CBA﹦∠CBD﹦120。，求二面角A—BD—C的大小。ADCB同学们思考以下问题:1.由已知条件怎样找垂线?2.通过垂线怎样找二面角的平面角.观察总结:图中的红色部分有什么特点?EG例2.如图示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求二面角的大小.1ABDPA1B1C1D1ABCDPFE分析:利用三垂线定理寻找二面角的平面角,关键是如何在一个半平面找一个点,向第二个半平面做垂线,往往要结合所给的几何体,找垂直关系。由于AB⊥平面AD1,BD1在平面AD1上的射影为AD1，过点P作PF⊥AD1于F,则PF⊥平面ABD1,过F作FE⊥BD1于E，连结PE，∠PEF即为二面角A_BD1_P的平面角。观察总结:计算在哪个图形中进行的?练习1：在三棱锥S--ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,SA﹦SC﹦,M为AB的中点⑴证明AC⊥SB;⑵求二面角S—CM—A的大小.22分析：１．证明线线垂直的思路如何？２．用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？SABCMEF练习2:三棱锥p—ABC中，PA⊥平面ABC，PA﹦3，AC﹦4，PB﹦PC﹦BC,求二面角A—PC—B的大小。PABCFE思考:1.怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面的垂线?2.在垂线的基础上怎样找二面角的平面角?53153,,arccos.284BFEF用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是：①两作一连一作垂线二作射影(斜线)一连斜线(射影)②计算小结