9.9 圆锥曲线综合问题选讲(二)

授课人：李福国2011届高考热点专题讲座主页圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.题型一圆锥曲线中定值问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.主页12121212(10)(10).2(2)2.ABPPABAPBABPCMmCMllCDEllkkkkDE.已知，,，,是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（）已知点，在曲线上，过点作直线、与交于、两点，且、的斜率、满足，求证：直线过定点，例并求此定点1题型一定点、定值问题DOMxyE主页()(1)((1)1)PxyPAxyPBxy设，,，,，解：则，(20)(20)ABBA，，，.PABAPBAB因为，22(1)22(1),xyx所以24.CxPy点的轨迹的方程为所以24yx即.OxyPBA主页221212(1)(12)()()44(2)yyMDyEy证明：由知，,设，，，,121222122221144yykkyy所以，211124()4yDEyyxyy直的所线为以方程,121240xyyyyy（）整理得，84440,xykk亦即(1,2)DE直线过定点所以.12()(2)28.yy整理得①12221212444DEyykyyyy1284yyk.由①②知DOMxyEk，124.yyk②1()0()2xky即.主页【1】已知椭圆22221(0)yxabab的左、右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（I）求椭圆的方程；（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足0MDCD，连结CM交椭圆于P，证明OMOP为定值（O为坐标原点）；（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．（此问选作）主页解：（1）如图，由题知2222,bc2,bc2,a所以椭圆的方程为22142yx．xyoCBDF2F1主页（2）由(1)知(2,0),(2,0)CD，xyoCBDMP221122842421212kkxxkk，即.1124(2)12kykxk，222244(,)1212kkPkk.221,42(2)yxykx由2222(12)8840kxkxk得，222224(12)244244,121212kkkOMOPkkkk所以OMOP为定值．则可设11:(2),(,).CMlykxPxy,(2,4).MDCDMk主页2PDQMCxyo主页（3）设00(,0)2Qxx且，由题知,0MQDPQMDP成立．2PDQMCxyo所以(0,0)Q存在使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点．DPQM由2028012kxk即恒成立,00.x解之，得202284(2)40,1212kkxkkk主页【2】(本小题满分12分)以1(0,1)F，2(0,1)F为焦点的椭圆C过点2(,1)2P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点1(,0)3S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．F2OF1xyS主页解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)yxabab，由已知c=1，又2a=222222()2()02222．所以a=2,2221bac．椭圆C的方程是22y+x2=1．（4分）F2OF1xyS主页（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1,若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是22161()39xy．由22221,116(),39xyxy解得1,0xy即两圆相切于点(1,０)．因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．证明如下：（7分）F2OF1xySAB主页当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：1()3ykx．由221(),31.2ykxyx即222221(2)2039kxkxk．记点A(x1,y1),B(x2,y2),则2122212223,2129.2kxxkkxxkF2OF1xySAB主页又因为TA11(1,)xy,TB22(1,)xy,TA·TB1212(1)(1)xxyy2121211(1)(1)()()33xxkxx22212121(1)(1)()139kkxxxxk2222222122931(1)(1)103922kkkkkkk．（11分）所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．主页【3】已知两点(0,1)A、(0,1)B，点P为坐标平面内的动点，满足||||ABBPABAP．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）若点C是直线25yx上任意一点，过点C作点P的轨迹的两切线CM、CN，M、N为切点，D为MN的中点．求证：CD//y轴或CD与y轴重合；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线MN是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.主页（Ⅰ）解：设(,)Pxy，则(0,2)AB，(,1)BPxy，(,1)APxy．由||||ABBPABAP，xyo得222(1)2(1)xyy，化简得24xy．所以动点P的轨迹方程为24xy．主页（Ⅱ）解：设切点坐标为2001(,)4xx，则过该切点的切线斜率是012x，该切线方程是200011().42yxxxxxyoMNC化简，得20028200.xtxt设M、N两点的坐标分别是2111(,)4xx、2221(,)4xx，则1x、2x为方程228200xtxt的两根．因此，当0t时，直线CD与y轴重合；当0t时，直线CD与y轴平行．12122,820,xxtxxt122Dxxxt得.又设点C的坐标是(,25)tt，切线过点C，有20001125().42txxtx主页（3）2221212121111()[()2]2448Dyxxxxxx21[42(820)]8tt21252tt．xyoMNC所以直线MN的方程为211(25)()22ytttxt，21(,25)2Dttt点的坐标为2212121144MNxxkxx又12112,442xxtt4)1020txy即（.此方程恒过定点(4,5).(4,5)tMN所以对任意实数,直线恒过定点.主页【4】设1122,,,AxyBxy是椭圆22221(0)yxabab上的两点,1122(,),(,)xyxystbaba,且0st,椭圆的离心率32e，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）O为坐标原点，试问ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.主页12121212(2)0.4xxyyyystxxbbaa由已知由22,14ykxmyx,得222(4)240kxkmxm，212122224,.44kmmxxxxkkF2xoyABF1主页1122(,)(,)xyxystbaba12124yyxx22121212111()0,444xxkxxkmxxm2224.mk由得222222244(4)(4)16(4)160.kmkmkmm△121||||2ABCSmxx△212121||()42mxxxx2222||441641,24mkmmmk所以ABC△的面积为定值1．212122224,44kmmxxxxkk12121()()04xxkxmkxmF2xoyABF1主页O到AB的距离1||2ABCSdAB△212121||()42mxxxx2222||441641,24mkmmmk所以ABC△的面积为定值1．212122224,44kmmxxxxkk212||1||ABkxx2212121()4,kxxxx2||,1mdk2212122||11()4,21mkxxxxkF2xoyABF1主页【5】(本小题满分14分)如图，已知直线:1lxmy过椭圆2222:1xyCab的右焦点F，抛物线：243xy的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线4:xg上的射影依次为点D、K、E.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且12,MAAFMBBF，当m变化时，探求12的值是否为定值？若是，求出12的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.（此问选作）主页解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F∴1c．抛物线243xy的焦点坐标0,3，23,3.bb2224.abc椭圆C的方程22143xy．………3分主页（Ⅱ）易知0m，且l与y轴交于1(0,)Mm，设直线l交椭圆于1122,,,AxyBxy，由22221,,34690143xmymymyxy得.2226363414410.mmm12122269,.3434myyyymm1111my.1111111(,)1,,MAAFxyxym，又由同理2211my.主页所以当m变化时,12的值为定值8.3……10分12121112().myy21221212634211().9334yymmmyyyym12122811112()2.33mmyym主页【6】如图，已知曲线C1：2221yxab2+=（ab0，y≥0）与抛物线C2：x2＝2py（p0）的交点分别为A，B．曲线C1和抛物线C2在点A处的切线分别为l1和l2，且l1和l2的斜率分别为k1和k2．（1）当曲线C1的离心率12e时，证明k1·k2为定值，并求出这个定值；（2）若直线l2与y轴的交点为(0,2)D,当a2＋b2取得最小值9时，求曲线C1和C2的方程．主页主页2221,4aba2243ab即.主页主页主页与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标.点评点评题型一圆锥曲线中定值问题对于圆锥曲线的最值问题，有两条求解思路：一是直接根据题设条件，进行一般性的计算或证明，得到所求结论与参数无关；二是运用辩证的观点去思考分析，在动点的变化中寻求定值的不变性，利用特殊取值、极端位置、特殊图形等先确定出定值，然后寻求方法进行一般性的论证.主页【例2】（07陕西）题型二、最值与范围问题主页【例2】（07陕西）主页此时3313.224S主页22221||(1)()ABkxx