应变理论

上一章要点回顾如何表示一点的应力平衡微分方程和应力边界条件含义柯西应力公式求主应力和主方向如何表示物体内一点的应力用六个应力分量表示物体内一点的应力状态(三个特殊微分面上的应力分量，每个微分面3个，考虑切应力互等，为6个）zyzxzyzyxyxzxyx,,,,,,也可以在该点取一正六面微元体，以各个面上的应力表示000bzyzxzzbyxyzyybxzxyxxFyxzFxzyFzyx物体处于平衡状态时一点处六个应力分量与3个体力分量的关系321lllpppzzyzxyzyyxxzxyxzyx平衡微分方程和应力边界条件物体处于平衡状态时表面一点处六个应力分量与3个面力分量的关系对平衡微分方程与应力边界条件的说明AB假想离散为许多微元体，则有：由单元体A的平衡得平衡微分方程由单元体B的平衡得应力边界条件正应力分量321321llllllllplzzyzxyzyyxxzxyxjijiiinpnnnpn22nnp切应力分量柯西应力公式321lllpppzzyzxyzyyxxzxyxzyx应力矢量tnkjipnnzyxppp要求某一主应力对应主方向，只需把该主应力代入式（2-25），再加上单位矢量特点，可求出主方向。zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxiiIIIIII32222132213)()(0求主应力和主方向Chapt.3应变Lgrangian应变张量小应变张量几何方程主应变应变协调方程1、Lgrangian应变张量构形坐标系运动的描述方法变形梯度张量格林变形张量拉格朗日应变张量构形：物体占有的区域称为物体的构形初始构形：物体在t=0时刻占有的区域称为初始构形Ω0；现时构形：在当前研究的时刻占有的区域称为现时构形ω；参考构形：为描述物体的运动，需要选择某特定时刻的构形作为参考构形Ω，以确定某时刻每个物质点的位置。参考构形的意义在于运动或变形是参考这个构形来定义的。)(22xX)(11xXXx参考构形（初始构形）现时构形时刻0t时刻t物质坐标系：用物质点在参考构形中的位置来标记物质点，为此要有一个物质坐标系Xi。也就是说，每个物质点都有其在参考构形中的位置；空间坐标系：物质点在任一时刻t的空间位置由xi确定，xi为空间坐标系。物质坐标系用于参考构形，空间坐标系用于现时构形。为简单，通常采用两个完全重合的直角坐标系。)(22xX)(11xXXx时刻0t时刻t参考构形（初始构形）现时构形运动的描述方法：拉格朗日描述：以物质坐标Xi和时间t作为独立自变量的描述方法称为Lagrange描述；Euler描述：以空间坐标xi和时间t作为独立自变量的描述方法称为Euler描述。固体力学中一般采用Lagrange描述，例如弹性力学中的基本未知量应力、应变、位移都以物质坐标作为独立自变量。以后将说明，小变形情况下，Lagrange描述与Euler描述所得结果是相同。物体运动的描述),X(xxt),,,(321tXXXxxii就特定物质点X，上式表示该物质点的运动轨迹；而当t固定时，上式表示该时刻物体的构形。举例：),,,(),,,(),,,(321333212232111tXXXxxtXXXxxtXXXxx用指标表示用张量表示变形梯度张量FXFxddjijiXFxdd或332313322212312111XxXxXxXxXxXxXxXxXxXxFjiij）（）（变形梯度张量F的物理意义：把初始构形中的微向量dX变换为现时构形中的微向量dx333223113333222211223312211111dXXxdXXxdXXxdxdXXxdXXxdXXxdxdXXxdXXxdXXxdx格林应变张量CFFCT式中xxXXdddxdxdxdsdddXdXdXdSdsdS23222122322212)()()()()()()()(，有和中任意微元和现时构形考察在参考构形XCXXFFXXFXFxxdddddddddsT2)())(333231232221131211mjmiijFFCCCCCCCCCC（CnnXCX)n()()(222dSddSddSds可写为线元长度平方的改变量为XICXXIXXCXdddddddSds)(-)(-)(22二阶单位张量I)n(Cn1)n(2或写为jijikjikijnABA)()(AnABAnABnBA是个矢量，其分量为是一个二阶张量，则是一个矢量，是一个二阶张量，是一个二阶张量，如果jiijF)(TTFFF的转置张量，分量为称为张量补充知识AabAbaAAAaAbAbaAba，有，如应力张量对对称张量为二阶张量，有为矢量，如)(,TT1.2.3.拉格朗日应变张量E定义为][21ICE1C1121)(333231232223131211333231232221131211CCCCCCCCEEEEEEEEEEijXEXXICXdddddSds2)()(-)(22于是有拉格朗日应变张量E的物理意义---后面说明位移梯度张量H)(22xX)(11xX)(33xXXx参考构形现时构形u'PPuXx位移矢量jjiijiXXuxd)(dXH(Ixd)d或称为位移梯度张量332313322212312111XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuHjiij）（）（333223113333322221122233122111111dXXudXXudXXudXdxdXXudXXudXXudXdxdXXudXXudXXudXdx此时变形梯度张量为HIF拉格朗日应变张量为)(21)(21)(21TTTHHHHIFFICE)(21)(21jkikijjikjkijiijijXuXuXuXuHHHHE其分量为Lgrangian应变张量描述了一点的应变状态。jiijnnEEEnnn)(））（（212121212212111)2()()(),(cosEEnIEnnnCnnFnFnFnFnFnFn1EnnXEX)()(-)(21)n))n(1(XEX2X)IC(X)(-)(22222dSddSddSdSdsEdSEdsdddddSds（，有两边平方，忽略高阶项为什么？因为只要已知拉格朗日应变张量，则任意方向的线应变及任意两个方向夹角的改变可由以下公式求得：任意两个方向夹角的改变为：方向的线应变为n柯西小应变张量小变形情况下（物质点的位移远小于物体的最小尺寸（一般是1/1000量级），而且位移梯度张量的分量也远小于1，即1jiXu小变形情况下，物质坐标与空间坐标近似相同，即XuXx可见，小变形情况下欧拉描述与拉格朗日描述是相同的。小变形情况下，可略去拉格朗日应变张量中的高阶微量，同时把物质坐标改用常用的空间坐标表示，得)(21)(21,,ijjiijjiijijuuxuxuE称为小应变张量zzyzxyzyyxxzxyxij)（由前述有）（）（）（zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx212121称为几何方程小应变张量各分量的物理意义变）的一半方向夹角改变量（切应和表示方向的线应变；表示yxxxyx因此，有zzyzxyzyyxxzxyxij212121212121)（n方向的线应变表达式结论：如位移场已知，则任意点任意方向的线应变都可求出。nlmnlmnmlzxyzxyzyxn222222εnnEnn为方向余弦式中nml,,2主应变与主应变方向物体内一点必有三个相互垂直的方向，变形后两两之间夹角的改变为零（切应变为零），这三个方向称为主应变方向，该方向应变称为主应变求主应变与主应变方向同求主应力与主应力方向应变张量也有三个不变量3应变协调方程用力法求解时（以6个应力分量作为基本未知量，然后根据应力应变关系求出6个应变分量，再根据几何方程求出3个位移分量），为保证变形协调（物体变形后无撕裂或套叠），6个应变分量需满足一定的条件但如用位移法求解（以3个位移分量作为基本未知量，然后由几何方程求出6个应变分量，再由应力应变关系求6个应力分量），求出的位移是连续函数，自然满足变形协调条件yxxyxyyx22222EquationofCompatibility（forplaneproblems)形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调→对应的位移存在→位移必然连续；形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。⑵形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。⑴形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例1三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在DD②③①FDD。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx,0)(;,,)(;,,)(2223例2试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在例3判断下列命题是否正确.003.002.0,01xxzyxuyuxwvu，则沿该线必有常数的直线上，若、在，则沿该线必有常数的直线上，若、在则该点必有应变、若物体内一点的位移