§1 中值定理

第三章中值定理和导数的应用§1中值定理§2洛必达法则§3函数的单调性与极值(一)、罗尔定理(二)、拉格朗日中值定理§1中值定理第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题.这一章我们来讨论导数的应用问题.我们知道，函数)()(00xfxxfy)(xfy在区间xxx00,上的增量可用它的微分xxfdy)(0来近似计算其误差是比x高阶的无穷小)(0xfxy即是近似关系)|(|充分小x)(lim00xfxyx而是极限关系,都不便应用我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系.对此，拉格朗日（Lagrange）中值定理给出了圆满的解答：xxxfy)(0——导数应用的理论基础定理(Rolle)若函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),(fxfbaba在该点的导数为零，即使得函数内至少存在一点则在例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且),1(2)(xxf))3,1(1(,1取.0)(f(一)、罗尔(Rolle)定理几何解释:xyo)(xfyabC12若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，.,切线是水平的在该点处的上至少有一点在曲线弧CAB物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.作用：.0)x(f根的存在性常用来讨论注意：①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导；区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使0200xxxy但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可.例如,];2,2[,xxy,,)0(]2,2[一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在f.0)(xf但在内找不到一点能使又例如,;0)0(],1,0(,1)(fxxxf在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件.0)(xf但在内找不到一点能使再例如].1,0[,)(xxxf在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件.0)(的点但也找不到使xf②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点.有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如)2ln()(xxxf在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而)2ln(2)(xxxxf但却不易找到使的点0)(xf但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例1320()8[0,8].fxxxx验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的值解：由于是一初等函数，32()8fxxx所以区间[0,8]包含在它的定义域内，且f(0)=f(8)=0,因此f(x)在[0,8]上满足罗尔定理的条件.由于()[0,8](08).fx在区间上连续，，内可导00(0,8)4,()0.xfx即在内存在一点使得22382(),3(8)xfxxx0002230082()0,0,4,3(8)xfxxxx令即得到例2不求导数，判断f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个根，以及所在的区间.例3.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.为唯一实根拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)（1）闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.:()().fafb与罗尔定理相比条件中去掉了注意).()()(fabafbf结论亦可写成(二)、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:xoy)(xfyABabC1D2.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧xNM()()().fbfafbab-af(b)-f(a)注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.例4320()6116[0,3].fxxxxx验证函数在区间上满足拉格朗日定理的条件，并求出拉氏定理结论中的值解：由于是一初等函数，32()6116fxxxx所以区间[0,3]包含在它的定义域内，因此f(x)在[0,3]上满足拉氏定理的条件.由于()[0,3](03).fx在区间上连续，在，内可导0(3)(0)(),30fffx2000(6)31211,3xx即200430.xx亦即00001(3)(0,3)1,(3)(0)().30xxxfffx解之得到舍去即在区间内存在一点使得成立()(,),fxab设在内可导则有),,(,00baxxx).10()()()(000xxxfxfxxf).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y推论1.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf推论2CxgxfIxgxfI)()(),()(上在区间那末上在区间如果例5).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx0例6.)1ln(1,0xxxxx时证明当证：),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即例7证明：2arctanarcsin,(,).1xxxx证：21arctan,1xx由于2222222111arcsin1111xxxxxxxx21.1x2arctanarcsin0,(,).1xxxx故所以由拉氏定理的推论2知，应当有：02arctanarcsin,(,).1xxCxx其中C0为一固定常数，为求出C0，可将x=0代入上式得：C0=0.2arctanarcsin.1xxx例8证明：证：1lnln1abaabbln,,.0.abaababbaabb其中为常数且先对上式变形，可得：ln.yx为此我们引入函数在区间[b,a]内应用拉氏定理，有：000lnln1(),(,)abfxxbaabx其中对，有：0(,)xba0111.axbln.abaababb1lnln1abaabb注意：一般来说，用中值定理证明一些不等式时，可以考虑由以下三步来完成：（1）由题设确定一个函数f(x);（2）选择与之对应的区间；（3）将f’(x0)适当进行放大或缩小.柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfbFaFbfaf成立.(三)、柯西(Cauchy)中值定理