§1 集合映射

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论．现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义．一、集合二、映射一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；aA当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：aA1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆◇注：关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例122{(,)4,,}MxyxyxyR例2N＝，{0,1,2,3,}{0,2,4,6,}2Z＝例32{10,}{1,1}MxxxRM＝｛x|x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝2、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作，（读作B包含于A）BABA当且仅当xBxA☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且ABBA约定：空集是任意集合的子集合.3、集合间的运算交：；{}ABxxAxB且并：{}ABxxAxB或显然有，;ABAAAB1、证明等式:．()AABA证：显然，．又，()AABA,xAxAB则∴，()xAAB从而,．()AAAB练习：故等式成立．2、已知，AB证明：．(1);(2)ABAABB又因，ABA∴．ABA2），xABxAxB或但是，AB又因，∴．BABABB,AAB证：1）,,xAABxBxAB此即，因此无论哪一种情况，都有.xB.ABB此即，二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或:'MM'MM原象，记作σ(a)＝a´或:.aa1、定义注:①设映射,集合，:'MM(){()}MaaM称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4Im'M显然，（不是）（是）（不是）2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,nZτ：τ(n)＝|n|＋1,nZ3）M＝，M´＝P，（P为数域）nnPσ：σ(A)＝|A|，nnAP4）M＝P，M´＝，（P为数域）nnPτ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）aP5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.σ：σ(a)＝a0，aM（不是）（是）（是）（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，()[]fxPx例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例6任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是（是）称为M上的恒等映射或单位映射．映射的一个特殊情形．2、映射的乘积设映射，:',:'''MMMM乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))aM即相继施行σ和τ的结果，是M到M的一个映射．①对于任意映射，有:'MMMMII②设映射:',:''',:'''''MMMMMM，有()()注：3、映射的性质:设映射:'MM1）若Im'M，即对于任意'yM，均存在（或称σ为映上的）；2）若M中不同元素的象也不同，即121212,,,()()aaMaaaa若则（或121212,,()(),aaMaaaa若则），则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,xM，使，则称σ是M到M´的一个满射()yx（或称σ为1—1对应）例7判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射）τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝12）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,nZ（是满射，但不是单射）3）M＝nnP，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝|A|，nnAP（是满射，但不是单射）（双射）4）M＝P，M´＝,nnPP为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，aP（是单射，但不是满射）σ：σ(a)＝a0，aM（既不单射，也不是满射）6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，()[]fxPx（是满射，但不是单射）7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,nZ（双射）（双射）5）M、M´为任意非空集合，为固定元素0aM①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,nZ4、可逆映射定义：设映射:',MM若有映射:',MM使得,MMII则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：1().aa则有②:'MM为可逆映射，aM，若()',aaσ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射:'MM为1—1对应，则对'yM均存在唯一的xM，使σ(x)＝y，作对应:MM(),()yxxy这里()(())()(),MxxyxIx则即MI；()(())()(),MyyxyIy则即MI∴σ为可逆映射．则τ是一个M´到M的映射,且对,(),xMxy若,(),yMxx若y=有(y)=11,()(())yMyyy对有即,1(),().xyMyx使所以σ为满射；其次，对1212,,()()xxMxx若，则11111112()()(())(())MxIxxxx即σ为单射.所以．σ为1—1对应．1222()()MxIxx反之，设为可逆映射，则:MM练习：1.找一个R到R＋的1—1对应．，规定解：xR:2xx则是R到R＋的一个映射.∵若22xy，则21,xyxy，∴是单射．aR又对，存在2logaxR，使2log2(log)2aaa故是1—1对应．∴是满射．2、令1:,:,fxxgxxRx，问：1）g是不是R＋到R＋的双射？g是不是f的逆映射？2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．解：1）g是R＋到自身的双射．∵，若，则，g是单射．,xyR11xyxy并且，即g是满射．11,,()xRRgxxx有使又∵，11()(())()fgxfgxfxx∴，g不是f的逆映射．RfgI事实上，．1ff1gg2）g是可逆映射．1111()hgffg:,:fABgBChgf,令3、设映射，证明：1）如果h是单射，那么f也是单射；2）如果h是满射，那么g也是满射；3）如果f、g都是双射，那么h也是双射，并且12()(),fafa但1112()()(())(())hagfagfagfa这与h是单射矛盾，∴f是单射．1212,,,aaAaa且证：1）若f不是单射，则存在22()()gfaha于是有()()(())chagfagfa,,()cCaAhac使2）∵h是满射，，即()faB，∴g是满射．又∵3），因为g是满射，存在,使cCbB().gbc又因为f是满射，存在，使aA()fabh是满射．()()(())(),hagfagfagbc∴∵若1212,,aaAaa且，由于f是单射，有12()().fafa又因为g是单射，有12(())(())gfagfa即,12()()gfagfa∴12()(),haha因而h是双射．h是单射.1111()()()ChfggffgI又11().AfghI同理111hfg作业P273习题2