沪科版初三数学24.3圆周角第一课时

舒城县汤池镇中心学校许令杰24.3圆周角第一课时圆周角定理及其推论回忆1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角、弧、弦和弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.探究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角。B问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。观察思考：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．合肥海洋世界问题探讨：问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？用量角器量一下，有什么发现？问题解决：你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？ABCOABCOABCO分析论证1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.ABCO∵OA=OC∴∠A=∠C又∠BOC=∠A＋∠C∴∠BOC=2∠A即∠A=∠BOC21分析论证你能证明第2种情况吗？ABCOD提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况证明：由第1种情况得即∠BAC=∠BOC21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠BAD＋∠CAD＝∠BOD＋∠COD2121分析论证你能证明第3种情况吗？证明：作射线AO交⊙O于D。由第1种情况得即∠BAC=∠BOC21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠CAD－∠BAD＝∠COD－∠BOD2121ABCOD问题解决：综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半ABCOABCOABCO即∠BAC=∠BOC21问题２如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？相等.都等于∠AOB的一半.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？D12345678ABC∠1＝∠4∠2＝∠7∠3＝∠6∠5＝∠8解：问题1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？探究与思考：推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.（也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换）问题2：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是。ABOC1C2C3推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。问题3：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。90°180°探究与思考：练一练1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB3、如图，∠A=50°，∠ABC=60°BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A、70°；B、110°；C、90°；D、120°B练一练4.（2014安徽省，19，10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4，OF=6.求⊙O的半径和CD的长.【答案】解：在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，∴∠OEF=900.在小圆中，OC是直径，∴∠CFO=900.∵∠EOF=∠FOC，∴△EOF∽△FOC，∴OEOFOFOC，即466OC，∴OC=9.在Rt△OFC中，CF=22229635OCOF.∴CD=2CF=65.练一练5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。ACBDF·O∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC.证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC.（2）△ABC是锐角三角形.由（1）知，∠B=∠C＜90°连接BF，则∠AFB=90°，∴∠A＜90°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°;90°的圆周角所对的弦是圆的直径.小结: