1.2排列与组合第一课时课件

1.2.1排列教学目标：1.知道排列的有关概念及计算方法。并能解决一些简单应用题。2.推导排列数的两个公式，理解并掌握解决排列应用题的常用方法。3.培养学生一题多解和一题多变的能力。重点：理解概念，公式推导。难点：排列问题的综合应用做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有.种不同的方法N=m1+m2+…+mn分类加法计数原理N=m1×m2×…×mn做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有_____________________种不同的方法.分步乘法计数原理复习引入：用分步乘法计数原理解决问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？探究为了寻求简便的计数方法，我们先来分析这类问题的两个简单例子.甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：3×2=6即共6种方法。上午下午相应的排法把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步，确定百位上的数字，在4个数字中任取1个，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中取，有3种方法；第三步，确定个位上的数字，从余下的2个数字中取，有2种方法。根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的排法。如下图所示有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。同样，问题２可以归结为：从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.探究：上面两个问题有什么共同特征？你能将它们推广到一般的情形吗？(1)有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相同。一般的，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列的定义：排列的特征(1)排列问题实际包含两个过程：①先从n个不同元素中取出m个不同的元素;②再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列.(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同;②元素的排列顺序也相同.例1下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会的选法；（2）10名学生中选2名做正、副组长的选法；（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数；（6）以圆上的10个点为端点作弦的条数；（7）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线的条数；（8）有10个车站，共需要多少种车票；（5）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位.24578“排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.mnA排列数：mnA从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。“排列”和“排列数”有什么区别和联系？“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；23326A3443224A23A问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为:34A问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为:2nA从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？第1位第2位nn-1An2)1(nn)2)(1(nnn第1位第2位第3位n-2nn-13nA同理可以这样计算)1()2()1(mnnnnAmn······第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-(m-1)1mn()mnAnm一般地可以这样计算：（3）共有m个因数．排列数公式)1()2()1(mnnnnAmn,,mnNmn观察排列数公式有何特征：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．（2）最后一个因数是n－m＋1．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中的n=m，即有:就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，！nAnn所以n个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定0!＝1)!(!mnn12)(12))(1()1(mnmnmnnn)1()2()1(mnnnnAmn例1计算：3101A）（5182A）（131318183AA）（我们发现：518A13131818AA这个结果有一般性吗？1569nA．17161554mnA例2(1)若,则n=，m=．,nN(55)(56)(68)(69)nnnn(2)若则用排列数符号表示为．)16,,()16()1)(((3)axNaxxaxax9199A12nnA15a16xA9911109(1)用排列数公式表示：练习nn)1(1413(2)1714例3某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.214A解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182.例4（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3560A=(种)35125=(种)百位十位个位解法一：直接法648899181919AAA6488992919AA或0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。有限制条件的排列问题1特殊元素、特殊位置问题例5用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？对排列方法分步思考。求总数：从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为:解法三：间接法.A310.648898910A310A29∴所求的三位数的个数是:求以0为排头的排列数为:A29从总数中去掉不合条件的排列的种数解法二：直接法322999648AAA．第一类：每一位数字都不是0的三位数有第二类：个位数字是0的三位数有第三类：十位数字是0的三位数有29A29A39A符合条件的三位数的个数是:小结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。练习（1）用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的五位数；解法1（位置分析法）首位是特殊位置，0不能排，有5种排法,其余4个位置有A45种排法，由乘法原理知共有5·A45=5·5·4·3·2=600解法2.（间接法）6个数中取5个数的排列减去0排首位的排列，共有:A56-A45=600第二类：个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有A44种排法，所以第二类共有2·4·A44=192,解；可分为两类，第一类：是个位为0的有A55个;由加法原理共有A55+192=312练习（2）用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的六位偶数；练习（3）用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于213045的自然数.A13·A55A13·A44A12·A33A12·A22第五类：形如213054有一个因此满足要求的数共有449个第一类：第一位排3或4或5,共有：第二类:第一位排2，第二位排3或4或5，共有：第三类：第一二位排21，第三位排4或5共有：第四类：第一二三位排213第四位排4或5，共有A66=720.共有A61A66=4320.,共有A61A66=4320.例6⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？A77＝5040.⑵7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列解：问题可以看作：7个元素的全排列⑶7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？解法1：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66种，解法2：从其他6人中先选出一人站首位，有A61剩下6人(含甲)全排列,有A66解：根据分步计数原理：第一步甲,乙站在两端有则共有A22A55=240种排列方法例6(4)7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？A22种.第二步余下的5名同学进行全排列有A55种解法3：7人全排列有77A,甲在首位的有A66所以共有A77-A66=7A66-A66=4320.所以一共有A52A55＝2400种排列方法．例6(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法3000551515AAA72066A例6(6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法?解法一（直接法）：以甲作为分类标准,分为两类：第一类：先安排甲在中间,再安排乙,有第二类：先安排甲在排尾,再安排其他人,有共有：3720种方法77A66A66A55A5566772AAA例6(6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法?解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的.所有排法：甲在排头：乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：共有：3720种方法(7)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:可以看成是排成一排的全排列：=7×6×5×4×3×2×1＝7！=5040.77A有限制条件的排列问题2相邻问题(9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？例6(8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？解:甲、乙合在一起有A22种排法,与另五个同学全排列有A66种排法，共有N=A22·A66=720捆绑法3不相邻问题解法一：间接法3600226677AAA(11)甲、乙、丙按指定顺序排列。(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解法二：先将其余五个同学排好有:再将甲、乙同学分别插入这六个“空位”有:36002655AA所以一共有种方法．55A种方法，此时他们留下六个“空位”，26A种方法,插空法A44·A53=1440其余四人在7个位置中选4个，有:A74方法，甲、乙和丙三个同学在其余3个位置中，只有一种方法共有N=A74·1=840种站法.练习1若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：⑴若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？所以在全排列中，A在B左边与A在B右边的排法数相等解:A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法25202