直线、平面平行和垂直的判定及其性质

本章内容2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章小结2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)复习与提高2.3.1直线与平面垂直的判定(第二课时)2.3.2平面与平面垂直的判定(第一课时)2.3.2平面与平面垂直的判定(第二课时)2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面垂直的判定2.3.1返回目录1.直线和平面垂直是怎样定义的?2.用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?问题1.在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面a互相垂直,记作l⊥a,直线l叫做平面a的垂线,平面a叫做直线l的垂面.线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.直线与平面垂直的定义:1.直线与平面垂直的定义画直线和水平平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.画直线和竖直平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.all⊥abmm⊥b问题2:已知平面a和空间任意一点P,过点P能作a的几条垂线?为什么?a·P结论:过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.如果有两条,PA⊥a,PB⊥a,只有一条.垂足分别为A,B.则PA,PB确定的平面与a相交于一直线AB.AB于是PA⊥AB,PB⊥AB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.问题3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.ABCD当A、B、C不共线时,折痕DC垂直桌面;当A、B、C共线时,折痕DC不一定垂直桌面.2.直线与平面垂直的判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,aa,ba,a∩b,⇒l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.问题4.一旗杆高8m,在它的顶端系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三边满足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a例1.如图,已知a∥b,a⊥a.求证:b⊥a.am证明:在a内任作两相交直线m、n,∵a⊥a,ma,⇒a⊥m,a⊥n,∵b∥a,⇒b⊥m,b⊥n,又m与n相交,⇒b⊥a.结论:两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.bnna,练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥PA,l⊥平面PQA.QA平面PQA,l⊥QA.练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥QA,l⊥平面PQA.PA平面PQA,l⊥PA.练习(补充).已知PQ是平面a的垂线段,PA是平面a的斜线段,直线la.求证:(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQAQ为垂线段PQ的垂足.A为斜线段PA的斜足.QA为斜线PA在平面a上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)探究题.如图,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,AC⊥BD?ABCDABCD分析:由题中定义知,侧棱AA⊥平面ABCD,从而AA⊥BD.又要使AC⊥BD,则需BD⊥平面AAC.所以需在平面AAC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使AC⊥BD,四边形ABCD需满足:BA=BC,且DA=DC.与BD垂直且与AA相交.(改为如下的证明题,请同学们给出证明)如图,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知AB=BC,AD=DC,求证:BD⊥AC.ABCDABCD证明:连结AC,∵AB=BC,BD⊥AC,AA⊥平面ABCDAA⊥BD,BD⊥平面AACC,BD⊥AC.(定义)(判定)(定义)AD=DC,AA∩AC=A,AC平面AACC,练习:(课本67页)第1、2题.练习:(课本69页)1.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.ABCV练习:(课本67页)证明:·D取AC边的中点D,连接VD,BD.∵VA=VC,VD⊥AC,VB=BC,BD⊥AC,AC⊥平面VDB,而VB平面VDB,∴AC⊥VB.2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O是AB边的.(2)若PA=PB=PC,则O是△ABC的心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,则∠POA=∠POB=∠POC=90,又PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O是AB边的.(2)若PA=PB=PC,则O是△ABC的心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心.2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90,则O是AB边的.(2)若PA=PB=PC,则O是△ABC的心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的心.Oa解:(3)中点外由PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,PA⊥BC.又由PO⊥a得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂ABCP练习:(课本69页)如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【课时小结】1.线面垂直的定义若直线l垂直平面a内的任意一直线,则叫l⊥a.应用:若l⊥a,则l垂直平面a内的任意一直线.l⊥a,ma,l⊥m.【课时小结】2.线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,l⊥a.aa,ba,【课时小结】3.相关结论◆过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.◆两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.◆如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;◆如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.习题2.3B组第2、4题习题2.3B组2.如图,棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,OCD,VA=VB,AD=BD,你们能判定CD⊥AB以及AC=BC吗?VABCDO答:能判定.由VA=VB,AD=BD得,VD⊥AB.又由VO⊥平面ABC得,VO⊥AB.于是得AB⊥平面VOD,∵OCD,AB⊥OD.∴AB⊥CD,而AD=BD,从而得AC=BC.4.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点,过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D,E分别是VA,VC的中点.试判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由.·VABCDEO解:DE⊥平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得AC⊥BC.又由VC垂直于⊙O所在平面得AC⊥VC.而D,E分别是VA,VC的中点得DE//AC,∴DE⊥平面VBC.∴AC⊥平面VBC.第二课时直线与平面垂直的判定2.3.1返回目录1.什么是斜线在平面上的射影?2.直线和平面所成的角是由哪些元素构成?其范围是多少?3.求直线和平面所成角的大小时,应掌握哪些要点?问题5.如图,直线l与平面a斜交于一点A,过点A在平面a内作直线l1,l2,l3,…,这些直线与直线l的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2P过l上任一点P作平面a的O垂线PO,垂足为O,连结AO,则∠PAO就是那个最小的角.【直线和平面所成的角】问题5.如图,直线l与平面a斜交于一点A,过点A在平面a内作直线l1,l2,l3,…,这些直线与直线l的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2PO一条直线PA和一个平面a相交,但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,其交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.【直线和平面所成的角】aOPQPO∩a=O,PQ⊥a,Q为垂足,则OQ是PO在平面a∠POQ是斜线PQ与平面a所成的角.上的射影.特例1:如果直线垂直平面,直线和平面所成的角为直角;特例2:如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0º的角.问题6.已知直线l1、l2和平面a所成的角相等,能否判断l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2与平面a所成的角是否相等?如图,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO与CO不平行.aABCDO1O2如图,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,则AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.结论:和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.两条平行线和同一个平面所成的角一定相等.例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直线A1B的射影.即需找过A1B上的点垂直平面A1B1CD的直线.O而BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线BC1有可能.因为BC1⊥B1C,还容易看出BC1⊥A1B1,于是可连结BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.∠BA1O就是所要求的线面角,则可在Rt△BA1O中求.例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.ABCA1B1C1D1D解:连结BC1,交B1C于O,则在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O则BC1⊥平面