高中数学必修五课件：3.4-2(2)《基本不等式》(人教A版必修5)

第2课时基本不等式的应用1．运用不等式求一些最值问题．用a＋b≥2ab求最小值；用ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22求最大值．2．若p，k为常数，a，b是正实数，则(1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值；(2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值.3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题：(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“”．二定、三相等一正、1．若x4，则函数y＝x＋()A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值2D．没有最小值解析：y＝x－4＋1x－4＋4≥2x－4·1x－4＋4＝6.答案：B2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为()A．6B．42C．22D．8解析：2a＋2b≥22a＋b＝223＝42.答案：B3．已知x，y是正数，且xy＝4，则yx＋xy取得最小值时，x的值是()A．1B．2C．22D.2答案：B4．不等式y＝x(1－3x)(0x)的最大值是________．解析：∵0x13，∴1－3x0，∴x(1－3x)＝13(3x)(1－3x)≤13[3x＋1－3x2]2＝13×14＝112.5．已知x≥52，求f(x)＝x2－4x＋5x－2的最小值．解：∵x≥52，∴x－20，∴f(x)＝x2－4x＋5x－2＝x－22＋1x－2＝(x－2)＋1x－2≥2.当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，ymin＝2.[例1](1)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最小值；(2)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(3)若x≠0，求f(x)＝12x＋3x的最小值．[解](1)∵x0，由基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R＋)知：f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝236＝12.当且仅当3x＝12x，即x＝2时，f(x)取最小值12.(2)∵x0，∴－x0，由基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R＋)知：－f(x)＝12－x＋(－3x)≥212－x·－3x＝12，即f(x)≤－12.当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时，f(x)取最大值－12.(3)∵x≠0，且12x与3x同号，又由基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R＋)知：f(x)＝12x＋3x＝12x＋|3x|≥212|x|·3|x|＝12.当且仅当12x＝|3x|，即|x|2＝4，即x＝±2时，f(x)取最小值12.迁移变式1设a0，b0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14解析：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝12时取等号)，故选B.答案：B[例2]求f(x)＝x2＋4x2＋3＋1的最小值．[分析]如果把f(x)＝x2＋4x2＋3＋1写成x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立．正确的处理方法是利用函数单调性求最值．[解]f(x)＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t＝x2＋3(t≥3)，则原函数变为y＝t＋1t＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数，所以当t＝3时，y＝t＋1t＋1取得最小值433＋1.所以，当t＝3，即x＝0时，f(x)＝4x2＋3＋1取得最小值433＋1.迁移变式2求函数y＝x4＋2x2＋1x2＋2的最小值．解：y＝x2＋22－2x2－3x2＋2＝x2＋22－2x2＋2＋1x2＋2＝(x2＋2)＋1x2＋2－2.令x2＋2＝t，则y＝t＋1t－2，t≥2.易证y＝t＋1t在[2，＋∞)上为增函数，因此y＝t＋1t－2≥12.所以y＝x4＋2x2＋1x2＋2的最小值为12.[例3]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．[解]由ab＝a＋b＋3求出b，将ab转化为关于a的函数，再求范围．由已知，得b(a－1)＝a＋3，由于a，b都是正数，所以a1，且b＝a＋3a－1.于是ab＝a·a＋3a－1＝[(a－1)＋1]·a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2a－1·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1(a1)，即a＝3时，等号成立，此时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．[点评]本例的求解建立在函数思想上，通过已知的等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求函数的值域，是解决这类问题常用的方法．迁移变式3已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝5，若lgx＋lgy≤lgk恒成立，则k的最小值是________．解析：因为x，y∈(0，＋∞)，所以xy≤(x＋y2)2，所以lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg(x＋y2)2＝lg254.当且仅当x＝y＝52时取得等号，所以kmin＝254.[例4]如图1所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[分析]设每间虎笼长xm、宽ym，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值，而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用基本不等式解决即可．[解]解法1：(1)设每间虎笼长为xm、宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m、宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长为6m、宽为4m时，可使钢筋网总长最小．解法2：(1)设每间虎笼长为xm、宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y.∵0y6，∴6－y0，∴S≤32·[6－y＋y2]2＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m、宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6(16y＋y)≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6m、宽为4m时，可使钢筋网总长最小．迁移变式4某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：每年购买次数为400x次，所以总费用＝400x×4＋4x≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时等号成立．答案：201．使用均值不等式求最值、证明不等式要注意使用的前提条件有三条：一正(各数为正)、二定(和或积为定值)、三相等(等号在允许取值的范围内能取到)，要熟练掌握均值不等式的各种变形．2．在一个题目中，若多次使用均值不等式，取等号的条件要求很严格，即每次使用均值不等式等号都成立且字母取值保持一致．3．对于不满足基本不等式结构的函数，可以通过因式分解、通分等手段转化成为和为定值或积为定值的结果．4．求函数y＝＋bx(a0，b0)的最值要掌握，特别是应用均值不等式等号不成立时，要用单调性的方法来研究最值．5．应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．