椭圆的参数方程及其应用

第1页（共3页）椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。一般都是这样定义的：椭圆1b)yy(a)xx(220220的参数方程是sinbyycosaxx00（α是参数，0b0a，）。特别地，以点（00yx，）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是sinryycosrxx00（α是参数，r0）。一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1求椭圆)0ba(1byax2222的内接矩形的面积及周长的最大值。解：如图，设椭圆1byax2222的内接矩形在第一象限的顶点是A（sinbcosa，）（20），矩形的面积和周长分别是S、L。ab22sinab2sinbcosa4|EA||FA|4S，当且仅当4a时，22maxba4sinb4cosa4|)EA||FA(|4Lab2S，，22maxba4L，此时α存在。二、求轨迹第2页（共3页）例2已知点A在椭圆136y144x22上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且21MBAM，试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B（0，9），设A（sin6cos12，），并且设M（x，y）。则，cos8211021cos12211x21xxBA3sin4211921sin6211y21yyBA，动点M的轨迹的参数方程是3sin4ycos8x（α是参数），消去参数得116)3y(64x22。三、求函数的最值例3设点P（x，y）在椭圆19y16x22，试求点P到直线05yx的距离d的最大值和最小值。解：点P（x，y）在椭圆19y16x22上，设点P（sin3cos4，）（α是参数且)20[，），则5553arcsinsin534|5sin4cos3|d22。当53arcsin2时，距离d有最小值0，此时椭圆19y16x22与直线05yx相切；当53arcsin23时，距离d有最大值2。四、求解有关离心率等入手比较困难的问题第3页（共3页）例4椭圆)0ba(1byax2222与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解：设椭圆)0ba(1byax2222上的点P的坐标是（sinbcosa，）（α≠0且α≠π），A（a，0）。则acosa0sinbkcosasinbkAPOP，。而OP⊥AP，于是1acosa0sinbcosasinb，整理得0bcosacos)ba(22222解得1cos（舍去），或222babcos。因为1cos1，所以1bab1222。可转化为1ee1122，解得21e2，于是1e22。故离心率e的取值范围是122，。