一次函数完美讲义

一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=1x(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A．y=2xB．y=12xC．y=24xD．y=2x·2x函数5yx中自变量x的取值范围是___________.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。1.判定一次函数的方法：1)从表达式角度考虑：有三条件：自变量x为一次；因变量为一次，系数k≠0.三、【考点知识梳理】（一）一次函数的定义一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．1．由定义知：y是x的一次函数⇔它的解析式是y＝kx＋b，其中k、b是常数，且k≠0.2．一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数．它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）3．正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0.温馨提示：正比例函数是一次函数，但一次函数(0)ykxbk不一定是正比例函数，只有当b=0时，它才是正比例函数。例1已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．（二）一次函数的图象1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－bk，0)的一条直线．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取0，b、－bk，0两点.3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与k、b符号的关系：(1)k＞0，b＞0⇔图象经过第一、二、三象限．(2)k＞0，b＜0⇔图象经过第一、三、四象限．(3)k＜0，b＞0⇔图象经过第一、二、四象限．(4)k＜0，b＜0⇔图象经过第二、三、四象限．温馨提示：画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0,)b，(,0)bk两点。（三）一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大，1)图象一定经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．k的正负决定直线的倾斜方向：两直线k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．|k|=xy增减性：当k0时，y随x值的增加而增加，当k0时，y随x值的增加而减小，|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；增加的快慢由两点的纵坐标之差和横坐标之差的比值来决定，即由k值的大小决定。点和直线的关系：点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足表达式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（x0，y0）必在函数的图象上．2)直线和直线的关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，这两个函数解析式中k1=k2,且b1≠b2.当平面直角坐标系中两直线重合时，这两个函数解析式中k1=k2,且b1=b2.当平面直角坐标系中两直线相时，这两个函数解析式中k1≠k2,.当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系：①k1≠k2y1与y2相交；其交点的横纵坐标分别是两直线表达式所联立的方程组的解。②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③2121,bbkky1与y2平行；④2121,bbkky1与y2重合（四）一次函数的应用1．求一次函数解析式求一次函数解析式，一般是已知两个条件，设出一次函数解析式，然后列出方程，解方程组便可确定一次函数解析式．2．利用一次函数性质解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．温馨提示：1.题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件；2.正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、利润、赚、赔、打折、不大于、不小于；3.设未知数相关量要有依据，而代数式为多项式时要加括号，带上单位，列方程时相关量的单位要保持一致。类型一一次函数的图象与性质(1)已知一次函数y＝－3x＋2，它的图象不经过第________象限．(2)若一次函数y＝kx＋b，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值()A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2(3)若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是()A．k0，b0B．k0，b0C．k0，b0D．k0，b0(4)如图，一次函数y＝－12x＋2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a(0a4且a≠2)，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是()A．S1S2B．S1＝S2C．S1S2D．无法确定【点拨】准确掌握一次函数的图象与性质是做对此类题的关键．【答案】(1)三(2)A(3)D(4)A类型二一次函数的解析式及应用1)将直线y＝13x向下平移3个单位所得直线的解析式为________．(2)我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x千米处的温度为y℃.①写出y与x之间的函数关系式；②已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃？③此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34℃，求飞机离地面的高度为多少千米？【点拨】一次函数解析式的确定需要明确两个点的坐标，从而求出系数k、b的值，一次函数的应用题需从题意中获取有用的信息．【答案】(1)y＝13x－3.(2)①y＝20－6x(x0)；②500米＝0.5千米，y＝20－60×0.5＝17(℃)；③令－34＝20－6x，得x＝9(千米)．五、【易错题探究】一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的图象如图所示，则使y0成立的x的取值范围为________．【解析】当y0时，函数图象在x轴上方，此时x－2.【易错警示】不清楚y0指的是哪部分图象．一、选择题1．若正比例函数的图象经过点(－1,2)，则这个图象必经过点()A．(1，2)B．(－1，－2)C．(2，－1)D．(1，－2)解析：设y＝kx(k≠0)把(－1,2)代入得k＝－2，∴y＝－2x，再把被选项代入验证，选D.2．若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是()A．k0，b0B．k0，b0C．k0，b0D．k0，b03．若直线y＝3x＋b与两坐标轴围成的三角形面积为6，则b为()A．6B．－6C．±6D．±7二、填空题11．已知一次函数y＝2x－6与y＝－x＋3的图象交于点P，则点P的坐标为________．12．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x1时，y的取值范围是________．三、解答题13．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．(1)求b的值；(2)不解关于x、y的方程组y＝x＋1，y＝mx＋n，请你直接写出它的解；(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．