考研数学之线性代数

线性代数昆明理工大学数学系2009.122第二节行列式的定义行列式的定义用定义计算特殊类型行列式一.行列式的定义将2n个数ija（i，j=1，2，…，n）排成n个横行及n个竖行的方形表格，两边再用竖线围起，就得到n阶行列式的记号：111212122212.....................nnnnnnaaaaaaaaa其中每个数ija称为行列式的元素，元素1na第一个下标表示它所在的行数，在第1行在第n列第二个下标表示它所在的列数，第2行第1列的元素ija就是第i行第j列的元素。111212122212.....................nnnnnnaaaaaaaaa左上到右下的对角线称为主对角线，主对角线副对角线右上到左下的对角线有时称为副对角线。n阶行列式是由代数和组成的一个数，其定义如下：111212122212.....................nnnnnnaaaaaaaaa121212(...)12...(1)...nnnpppppnppppaaa其中12(...)nppp是列标排列12...nppp的逆序数。12nPPP表示对所有n!个排列求和。上述定义说明n阶行列式是含有n！项的代数和，其中每一项是不同行不同列的n个元素的乘积。定义：n阶行列式为列标的每个排列对应一项，列标可以形成n!个排列，所以这里有n!项相加。列标排列12...nppp111212122212.....................nnnnnnaaaaaaaaa121212(...)12...(1)...nnnpppppnppppaaa当把这个n元素按行标从小到大的顺序排列时，其列标排列的逆序数12...nppp若为偶数，这12(...)nppp项冠以“+”号，若为奇数，这项冠以“－”号。根据行列式的定义，一、二、三阶行列式可以计算如下：一阶行列式：11a(1)11(1)a01111(1)aa例如：882200注意：行列式的符号和以前学过的绝对值符号形式上是没有区别的，我们可以结合上下文来判断。二阶行列式：11122122aaaa(12)(21)11221221(1)(1)aaaa11221221aaaa列标排列12列标排列21二阶行列式的列标1，2可以形成两个排列12和21，所以二阶行列式是两项的代数和，排列的奇偶性决定。这两项前面的符号由列标三阶行列式：三阶行列式的列标1、2、3可以形成6个排列123132213231312321所以三阶行列式是6项的代数和：111213212223313233aaaaaaaaa(123)112233(1)aaa(231)122331(1)aaa(312)132132(1)aaa(321)132231(1)aaa(213)122133(1)aaa(132)112332(1)aaa每一项前面的符号由列标排列的奇偶性决定。三阶行列式的计算也可以使用下述方法：111213212223313233aaaaaaaaa112233aaa122331aaa132132aaa132231aaa122133aaa112332aaa利用这个图形，很容易写出三阶行列式的6项代数和。注意：这个图形对四阶以上的行列式不适用。例1、计算以下两个行列式。11234D（1）2321105234D（2）解：（1）114D232（2）2D304252(1)1(3)(1)0221435(3)0203045860四阶行列式有4！=24项，要写出并计算这24个乘积的代数和是很麻烦的。对于三阶以上的高阶行列式，一般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算。把四阶行列式4D展开时，不包含下列（）项。A、11233442aaaa23341241aaaaC、12213442aaaa14332241aaaaB、D、二.用定义计算特殊类型的行列式例2、利用行列式的定义计算下列行列式1121221120...0...0...............nnnnaaaDaaa1.这个行列式的特点是，对角线上方的元素全为0，以后称这种行列式为下三角行列式。解：111212222...0...............00...nnnnaaaaaDa2.这个行列式的特点是，对角线下方的元素全为0，以后称这种行列式为上三角行列式。解：上、下三角行列式统称三角行列式。主对角线上元素的乘积。它们的值等于3.112230...00...0............00...nnaaDa这个行列式除对角线上的元素之外全为0，称为对角行列式，它是三角行列式的特殊情况。解：31122...nnDaaa以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。12124110...00..................nnnnnnnnaaaDaaa4.副对角线上方的元素全为0。解：例3、设111212122212()()...()()()...()()()()...()nnnnnnaxaxaxaxaxaxfxaxaxax，其中各元素()ijax都是可导函数。试证111212122212()()...()()()...()()()()...()nnnnnnaxaxaxaxaxaxfxaxaxax...111212122212()()()()()()()()()nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax证明：下面的定理是对行列式定义的另一种说法。定理：对于上述行列式定义中的任意一项1212(...)12(1)...nnPPPPPnPaaa若对乘积1212...nPPnPaaa的因子顺序进行若干次交换，变为乘积1122...nnijijijaaa，则有1212(...)12(1)...nnPPPPPnPaaa12121122(...)(...)(1)...nnnniiijjjijijijaaa换句话说，如果行列式各项的乘积1212...nPPnPaaa的因子不是按行标从小到大的自然顺序排列，而是任意排列成1122...nnijijijaaa，则这项冠以符号1212()()(1)nniiijjj。证明：证明：根据行列式定义，有12121(...)12()(1)()()...()nnnPPPPPnPPPfxaxaxax1121(...)12...(1)()()...()nnnPPPPnPPPaxaxax1121(...)12...(1)()()...()nnnPPPPnPPPaxaxax1121(...)12...(1)()()...()...nnnPPPPnPPPaxaxax1121(...)12...(1)()()...()nnnPPPPnPPPaxaxax111212122212()()()()()()()()()nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax111212122212()()()()()()...()()()nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax111212122212()()()()()()()()()nnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（证毕）证明：因12112212......nnnppnpijijijaaaaaa，故只需证明121212(...)(...)(...)(1)(1)nnnPPPiiijjj设1212...nppnpaaa的因子经过k次交换，成为则行标排列12…n经过k次交换,1122...nnijijijaaa，成为排列12...niii，列标排列12...nppp经过k次交换,成为排列12...njjj，根据第一节性质1，若k为奇数，则行标排列与列标排列都同时改变奇偶性，因而(12...)(1)n12(...)(1)niii12(...)(1)nPPP12(...)(1)njjj若k为奇数，则行标排列与列标排列的奇偶性都不变，故(12...)(1)n12(...)(1)niii12(...)(1)nPPP12(...)(1)njjj不论k是哪一种情况，都有12(12...)(...)(1)nnppp1212(...)(...)(1)nniiijjj因为(12...)0n，所以要证的结论成立。解：根据定义，行列式是由不同行不同列元素的乘积的代数和，因为含0元素的项必为0，只要考察不含0元素的项。设这种项为：1121221120...0...0...............nnnnaaaDaaa1121221120...0...0...............nnnnaaaDaaa1212(...)12(1)...nnPPPppnpaaa因为1D的第一行除11a外全为0，所以必有1111paa。1D的第二行除了21a22a和之外都为0，但21a22a和位于同一行，与11a不同列的只有22a，所以2222paa，依此类推，可知1D中不含0元素的项只有如下一项：(12...)1122(1)...nnnaaa1122...nnaaa因此，11122...nnDaaa。即下三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。解：2D依次讨论的第n行、第n-1行、…、第1行，可知其不含0元素的项与1D相同，所以：21122...nnDaaa111212222...0...............00...nnnnaaaaaDa解：类似于前面的讨论可知4D中不含0元素的项只有因为(1...21)nn(1...21)121121(1)...nnnnnnaaaa(1)n(2)n...211(1)2nn所以(1)24121121(1)nnnnnnDaaaa，即4D等于副对角线上元素的乘积再乘以1(1)2nn。12124110...00..................nnnnnnnnaaaDaaa