第6章续 一阶电路分析

第6章续正弦激励的过渡过程和稳态1、正弦电压和电流的概念2、正弦量及其三要素3、一阶RC电路的正弦激励的响应基本内容正弦电压和电流P238页一、正弦电压电流按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常称为交流电，用AC或ac表示。常用函数式和波形图表示正弦电压和电流，例如振幅为Um,角频率为ω，初相位为i的正弦电压的函数表达式如式(6－42)所示。)426()cos()(m－utUtuUm:最大值---正弦电压的振幅(取正值)。ω:每单位时间变化的弧度数---正弦电压的角频率,其单位为弧度/秒(rad/s)。角频率与周期T和频率f的关系为(ωt+u)---正弦电压的相位，u=(ωt+u)|t=0是t=0时刻的相位---初相。初相的取值范围通常在-到+之间，其数值决定正弦电压波形起点的位置。fT22我国供电系统使用的正弦交流电，其频率f=50Hz(赫兹)，周期T=1/f=20ms。已知振幅Um、角频率ω和初相u，就能够完全确定一个正弦电压，称它们为正弦电压的三要素。)cos()(mitItu由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻的数值称为瞬时值，因此上面两式又称为正弦电压和正弦电流的瞬时值表达式。正弦电流的三要素为振幅Im，角频率ω和初相i，其函数表达式为例已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。rad/s62.82022310100T解：先计算正弦电压的角频率正弦电压的函数表达式为V)10cos(62.8)V620cos()cos()(um3010tttUtu正弦电压波形如图所示。图二、同频率正弦电压电流的相位差正弦电流电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差，用表示。电流i1(t)与电流i2(t)之间的相位差为2121)()(tt)cos()()cos()(22m211m1tItitIti例如有两个同频率的正弦电流表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。相位差的量值反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系。2121)()(tt(a)电流i1(t)超前于电流i2(t)(b)电流i1(t)滞后于电流i2(t)※当=1-20时，表明i1(t)超前于电流i2(t)，超前的角度为，超前的时间为/ω。图(a)表示电流i1(t)超前于电流i2(t)的情况※当=1-20时，表明i1(t)滞后于电流i2(t)，滞后的角度为||，滞后的时间为||/ω。图(b)表示电流i1(t)滞后于电流i2(t)的情况1.同相:如果相位差=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同相，如图(a)所示；2.正交:如果相位差=1-2=/2，称电流i1(t)与电流i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)/2或90°；3.反相:如果相位差=1-2=，称电流i1(t)与电流i2(t)反相，如图(c)所示。(a)同相(b)正交(c)反相同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况例已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式为A)60cos(10)(A)45cos(5)(V)180cos(311)(21ttittittu试求电压u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差。135)45()180(电压u(t)与电流i2(t)的相位差为24060)180(习惯上将相位差的范围控制在-180°到+180°之间，我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为A)60cos(10)(A)45cos(5)(V)180cos(311)(21ttittittu三、RC电路的正弦激励的响应分析正弦稳态响应如图6-65示RC电路，电容的初始电压uC(0)=0。在t=0时刻正弦电压uS(t)=USmcos(t+ψ)作用于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。Rus(t)+－+－Ct≥0uc(t)建立t0电路的微分方程如下:)466(0)cos(ddSmCCttUutuRCRCtstKKtuChee)(对应齐次微分方程的通解uCh(t)为微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即)cos()(uCmCptUtuRus(t)+－+－Ct≥0uc(t)为了确定UCm和Ψu，可以将上式代入微分方程中求解得到)506()(arctan)506(1u222SmCmcCRbCRUU)()cos()sin(SmuCmuCmtUtUtRCUcos)utUtucos()(CmCp微分方程的完全解为-(6)0(cos(e)(CmCttUKtuRCt)u可以求得)526(cos)0(uCmCUuK如果电容电压的初始值不等于零，则得到全响应为)546()0(cos(e]cos)0([)(CmCmCCttUUutuRCt正弦稳态响应暂态响应)uu如果电容电压的初始值等于零，则响应为)536()0(ecoscos()(CmCmCtUtUtuRCtuu)@曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当τ=RC0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。@曲线2表示特解，它按照正弦规律变化，其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后，它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。