第6章连续小波变换

第6章连续小波变换小波及连续小波变换常用的基本小波时频分析连续小波变换的计算小波变换的分类小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春小波及连续小波变换12()()tLRLR设函数，并且ˆ(0)0，即()0tdt，则称()t为一个基本小波或母小波。,1()()abtbtaa,abR0a(连续)小波函数a和b的意义,22()()abtt,1(,)()(),fabtbWTabftdtfaa1/21(,)()()aftbWTabftdtafbaa性质：线性性质平移不变性……….小波及连续小波变换12()()tLRLR设函数则称()t为一个允许小波。,若2ˆ()cd允许条件与ˆ(0)0几乎是等价条件.,211()(,)()fabftWTabtdadbca常用的基本小波1.Haar小波101/2()11/210ttt其它/224ˆ()sin/4iie1112()t01常用的基本小波2.Daubechies小波D4尺度函数与小波012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波常用的基本小波3、双正交小波双正交B样条小波（5-3）、（9-7）小波滤波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波滤波器:111311,,,,824282h~2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281212qpqqqpqqpqqqpqqqq13355533,,,,,,164162164162h常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。常用的基本小波4.Morlet小波20/2()itttee20()/2ˆ()2eMorlet小波不存在尺度函数;快速衰减但非紧支撑.Morlet小波是Gabor小波的特例。2221/421titgtetgteGabor小波Morlet小波1,5常用的基本小波5.高斯小波2/212ttte2/2ˆie()tˆ()这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。常用的基本小波6.Marr小波ˆ()这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。22/22()(1)3ttte242/222ˆ()3e（也叫墨西哥草帽小波）特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。t常用的基本小波7.Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：122324sin12233348ˆ12433280,332cosivve423358470200,1vtttttt12122233242cos12233403ˆvtˆ()常用的基本小波8.Shannon小波sin1/2sin21/21/2tttt/21,2ˆ0,ie其它在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。t常用的基本小波9.Battle-Lemarie样条小波2242224ˆˆ12sin164sin241sin38sin8sin34441ˆ()()()222igeBattle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形t常用的基本小波10.二进样条小波在第7章介绍。时频分析1.Fourier分析简介Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。2.短时Fourier变换短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。非平凡函数2()wLR称为窗函数，如果2twtLR1101()0tNt其它值101/2()11/210Httt其它01220tttt对对1其它241()2taagtea2()Nt0a2221()ttwtdtw1/22221()()wttwtdtw窗口Fourier变换2ww通常我们用作为窗函数的宽度的度量。,itfSbftgtbedt窗口Fourier变换：大致反映了ft在时刻b、频率为的信号成分的相对含量。窗口Fourier变换*,,,,fbbSbfWftWtdt,()itbWtegtb,fSb给出了ft在,bW的时间窗**,ggtbtb内的局部化信息。短时Fourier变换gtˆg若及其Fourier变换都是窗口函数，则称,fSb为短时Fourier变换。,fSb同时给出了ft在时间窗**,ggtbtb内的局部化信息。特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。和频率窗*ˆ,g*ˆg时间-频率窗**,ggtbtb*ˆ,g的特性：不变的宽度*ˆg和固定的窗面积2gˆ4gg测不准原理：ˆ12gg应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。小波时频分析小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。假设是任一基本小波，并且与ˆ都是窗函数，与半径分别为它们的中心tˆ，，和。不妨设和尺度a都是正数。1(,)()()batafbatatbWTabftdtaa给出了ft在时间窗(,)fWTab内的局部化信息。,1ˆˆ(,),2fabWTabfˆˆ()()2ibafead给出了ft在频域窗(,)fWTab内的局部化信息。ˆ,aaˆaa,batabata小波时频分析内的局部化信息,ˆ,aaˆaa/a(,)fWTabt若用作为频率变量，则给出了信号在时间—频率平面（平面）中一个矩形的时间—频率窗,batabata即小波变换具有时—频局部化特征。120aa2a窗宽:面积:,aba的宽度是宽度的倍.检测信号ft的高频成分需用具有比较小的0a的分析小波,ab变窄，并在高频区域对信号进行细节分析..这时时间窗会自动ˆ4各种变换的比较小波变换的特性分解种类：时间-尺度或时间-频率分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。小波函数的伸缩改变其窗口大小。变量：尺度，小波的位置信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率局部化，宽的小波提供好的频率局部化及差的时间局部化。适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性分解种类：频率分析函数：正弦函数，余弦函数变量：频率信息：组成信号的频率适应场合：平稳信号算法复杂度：短时Fourier变换的特性分解种类：时间-频率分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波变量：频率，窗口的位置信息：窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越大，频率局部化越好,此时时间局部化较差.适应场合：次稳定信号连续小波变换的计算数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。连续小波变换的结果的显示方式：灰度表示，三维表示0102030405060708090100-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6sin(5.89),01sin(8.83),12sin(5.89)sin(8.83),230,3ttttfttttt连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点2,4,8,16,321，2，…,32小波变换的分类,()abt,,abt中三个变量均为连续变量，离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换只对a,b离散化：只对a离散化离散小波及离散（参数）小波变换令参数2ja，2jbk，其中,jkZ，则离散（参数）小波为：/22,2()2(2)jjjjkttk在这种情况下，常用,()jkt记2,2jjk，即/2,()2(2)jjjkttk相应于离散小波的离散（参数）小波变换为：,()jkt,(,):,fjkWTjkf重构问题：()t在满足什么条件下，可以由离散小波变换,,,jkjkZf重构原信号？可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论尺度离散化：实际工作中最常见的情况是,将尺度a按照二进尺度离散化,此时a取值为位移离散化：当a=2-J(也就是j=J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样.b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率).每经过一次小波变换,其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.2,,1,,0jajJJ02345671ln2j0kb离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论,()abt变为/2022jjtkb,为简化书写,通常认为b0=1,以归一.并记/2,22jjjkttk即对于分辨率j,b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时,也就是把b轴用b0加问题:如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间?[2.7890625,2.828125]二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数2ja，jZ，而参数b仍取连续值.则有二进小波：/22,()22()jjjbttb这时，2()()ftLR的二进小波变换定义为：/2(2,)2()2()jjjfWTbfttbdt重构问题：()t在满足什么条件下，可以由二进小波变换重构原信号？2,|,jfWTbjZbR重要性质：二进小波变换仍具有连续小波变换的平移不变性.补选习题•提供Matlab中小波时频分析的仿真例子.要求:必须真正理解解题思想及过程,并详细描述之.用Matlab画出图6-10,并提供代码.