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三角形的基础知识★★★★★○○○○○三角形的定义三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形是最基本的多边形．一般用大写英语字母为顶点标号，用小写英语字母表示边，用阿拉伯数字表示角．三角形的基本性质三角形三个内角的和等于180度三角形任何两边的和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形按角度分类a．锐角三角形：三个角都小于90度．b．直角三角形：简称错误!未找到引用源。，其中一个角等于90度．c．钝角三角形：其中一个角一定大于90度，钝角大于九十度且小于一百八十度．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．三角形按边分类不等边三角形：3条边都不相等．等腰三角形：有2条边相等．等边三角形：3条边都相等．三角形一般判定方法若一个三角形的三边a，b，c（错误!未找到引用源。）满足错误!未找到引用源。，则这个三角形是锐角三角形；错误!未找到引用源。，则这个三角形是直角三角形；错误!未找到引用源。，则这个三角形是钝角三角形．三角形的主要特点1．三角形的任意两边的和一定大于第三边，由此亦可证明三角形的两边的差一定小于第三边．2．三角形内角和等于180度．3．等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一．4．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．5．三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和．6．三角形30度的角所对应的直角边等于斜边的一半[来源:学科网ZXXK]7．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角．8．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点．9．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a^2+b^2=c^2．那么这个三角形就一定是直角三角形．10．三角形的外角和是360°．11．等底同高的三角形面积相等．12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比．13．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4．14．在△ABC中恒满足错误!未找到引用源。．15．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．16．全等三角形对应边相等，对应角相等．17．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度．（包括等边三角形）18．△ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】2．19．三角形的重心是三角形三条中线的交点．20．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．21．三角形的外心是指三角形三条边的中垂线的交点．22．三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心．23．三角形的两条外角平分线和另外一条内角平分线的交点叫做三角形的旁心．24．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形．25．三角形具有稳定性，不易变形．相关定理中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边．中线定理三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．相关定理中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边．中线定理三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍．[来源:学科网]三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．射影定理射影定理（欧几里得定理）内容为：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积．几何语言：若△ABC满足∠ACB=90°，作CD⊥AB，则CD^2=AD×BD射影定理的拓展：若△ABC满足∠ACB=90°，作CD⊥AB，(1)错误!未找到引用源。=AD·AB(2)错误!未找到引用源。=BD·AB(3)AC错误!未找到引用源。BC=AB错误!未找到引用源。CD证明：射影定理可以由圆幂定理推出，拓展（3）可由前三式推出，也可以用等面积法证明正弦定理内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc结合三角形面积公式，可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）余弦定理内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中，a2=b2+c2-2bc×cosA此定理可以变形为：cosA=（b2+c2-a2）÷2bc三角函数[来源:学&科&网Z&X&X&K]三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数．它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射．通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域．另一种定义是在直角三角形中，但并不完全．现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系．它由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数、但具有特殊的反三角函数（如：arcsin），三角函数在复数中有较为重要的应用．在物理学中，三角函数也是常用的工具．三角函数种类包含六种基本函数：正弦(sin）、余弦(cos）、正切(tan）、余切(cot）、正割(sec）、余割(csc）．锐角三角函数在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角．则定义以下运算方式：sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA=a/ccosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA=b/ctanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA=sinA/cosA=a/b，tanA记为∠A的正切；当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”．sinA=cosB，sinB=cosA相关面积直角三角形解直角三角形需要用到勾股定理（弦）定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏(毕达哥拉斯)定理．数学公式中常写作a2+b2=c2，其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边．勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数．比如：3，4，5．常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；10，24，26；等等．其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3，4，5；5，12，13；8，15，17等等斜三角形在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径）．（2）余弦定理a2=b2+c2-2bc*CosA；b2=a2+c2-2ac*CosB；c2=a2+b2-2ab*CosC．备注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况．（3）余弦定理变形公式cosA=(b2+C2-a2)/2bc；cosb=(a2+c2-b2)/2ac；cosC=(a2+b2-C2)/2ab．内角和在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角．（注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180度，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面）证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》如何证明三角形的内角和等于180°方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°．方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°．例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°证明：做BC的延长线至点D，过点C作AB的平行线至点E∵AB∥CE（已知）∴∠ABC=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCD=180°∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）定义两个能够完全重合的三角形称为全等三角形．变化的方式1．轴对称．2．平移．3．旋转．4．翻折．5．多种变换叠加．全等的条件1．两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS．2．两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”．3．两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”．4．两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”．5．两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”．注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”．稳定性三角形的稳定性是指只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定的性质．证明任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接．∵第三条边不可伸缩或弯折，∴两端点距离固定，∴这两条边的夹角固定；∵这两条边是任取的，∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定，∴三角形有稳定性．任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接∴两端点距离不固定，∴这两边夹角不固定，∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性．特殊三角形1．相似三角形（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形．（2）相似三角形性质相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比（3）相似三角形的判定【1】如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）．【2】如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）．【3】如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）．【4】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．2．等腰三角形等腰三角形的性质：（1）两底角相等；（2）两条腰相等；（3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：三线合一）；等腰三角形的判定：（1）等角对等边；（2）两底角相等；（巧用：在特定题目中，等腰三角形，平行，角平分线这三量，知二可推另一）3．等边三角形等边三角形的性质：（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：三线合一）；（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；（3）四心重合（重心、垂心、外心、内心）．等边三角形的判定：（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．面积公式（1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a，b，c，参见三角函数）(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][p=1/2(a+b+c)]（海伦—秦九韶公式）(4)S△=abc/(4R)(R是外接圆半径）(5)S△=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径）(6)|ab1|S△=1/2|cd1||ef1|[|ab1|…．|cd1|…．|ef1|为三阶行列式，此三角