7213区间估计

《概率统计》下页结束返回一、单正态总体参数的区间估计二、两正态总体均值差等的区间估计下页区间估计：就是用样本来确定一个区间，使这个区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区间称为置信区间.§7.2参数的区间估计《概率统计》下页结束返回设总体X的分布中含有未知参数q,若由来自总体X的一个样本确定的两个统计量：对给定的a(0a1)，有下页1112ˆˆ(,...,),nXXXqq2212ˆˆ(,...,),nXXXqq一、参数的区间估计法§7.2参数的区间估计12ˆˆ{}1,Pqqqa则称随机区间是q的置信概率为1-a的置信区间，12ˆˆ(,)qq分别称为置信下限和上限，1-a称为置信水平.12ˆˆ,qq《概率统计》下页结束返回设总体X的分布中含有未知参数q,若由来自总体X的一个样本确定的两个统计量：对给定的a(0a1)，有下页1112ˆˆ(,...,),nXXXqq2212ˆˆ(,...,),nXXXqq12ˆˆ{}1,Pqqqa则称随机区间是q的置信概率为1-a的置信区间，12ˆˆ(,)qq分别称为置信下限和上限，1-a称为置信水平.12ˆˆ,qq说明：①是随机区间，而不是具体区间！12ˆˆ(,)qq②如a=0.05时,表示若从总体中抽得容量相同的100组样本,则在确定的100个置信区间中将有95个包含q的真值，不包含q真值的区间只有5个.③q是确定值，不能理解为它落在某随机区间…《概率统计》下页结束返回⒈选取统计量选取样本(X1,…,Xn)的一个函数g(X1,…,Xn;q)，其中只含所求置信区间的未知参数q，且分布已知．⒉确定分位点对于给出的置信水平1-a，确定g(X1,…,Xn;q)的双侧分位点．⒊变换不等式利用不等式变形得到未知参数q的置信区间．下页二、求置信区间的方法《概率统计》下页结束返回1.)1(~)1(222nSn2.)(~)(21222nXnii)1,0(~NnXU)1(~/ntnSXaaa1)})()(({222221nnPa1)}(|{|2nttPaaa1||2uUP若X~N（,2）:X1,X2,…,Xn，则附：常用统计量及双侧分位点下页U统计量《概率统计》下页结束返回2||1./XPunaa221.PXuXunnaaa~(0,1)./XNn对给定的置信概率1-a，有2.Xuna由此可得总体均值的1-a置信区间为)1,0(~/NnX)1(~/ntnSX下页三、单个正态总体均值与方差2的区间估计⒈2已知时,的1-a置信区间选取统计量确定分位点变换不等式说明:其他参数的区间估计类似,过程不再详述.《概率统计》下页结束返回2||(1)1,/XPtnSnaa22(1)(1)1,SSPXtnXtnnnaaa~(1),/XtnSn2(1).SXtnna下页⒉2未知时,的1-a置信区间)1,0(~/NnX)1(~/ntnSX对给定的置信概率1-a，有由此可得总体均值的1-a置信区间为《概率统计》下页结束返回2(1).SXtnna下页⒉2未知时,的1-a置信区间…由此可得总体均值的1-a置信区间为例1.为估计36亩大豆的产量，以200米2面积上的大豆作为总体的一个个体，从中任意抽得24个个体，分别测得大豆的产量如下(单位：千克/200米2)：0.0522(1)(23)2.0687,atnt6.04(41.1252.0687)(38.575,43.675).24故200米2面积平均产量的0.95置信区间为50,42,32,46,35,44,45,38,35,54,42,36,41,34,39,50,43,36,34,49,35,46,38,43试估计大豆平均产量的范围(假定大豆产量按正态分布)，置信概率1-a=0.95.查表得解:属2未知时的区间估计问题.算得=41.125,s=6.04,x《概率统计》下页结束返回22211()~(),niiXn22212122()()()1,aaaniiXPnn)()(,)()(221122212nXnXniiniiaa2222122(1)(1)(1)1,aaansPnn222(1)~(1),nSn2的1-a置信区间为niinX1222)(~)(1)1(~)1(222nSn)1()1(,)1()1(2212222nSnnSnaa下页⒊已知时,2的1-a置信区间2的1-a置信区间为⒋未知时,2的1-a置信区间《概率统计》下页结束返回22220.9750.025122(1)(15)6.262,(1)(16)27.488,aaxnxxnx2.152.102.122.102.142.112.152.132.132.112.142.132.122.132.102.14试求零件长度标准差的置信区间(a=0.05,设总体为正态)．2的0.95置信区间为查表得)1()1(,)1()1(2212222nSnnSnaa=(0.0127,0.0265).下页例2.从车床加工的一批零件中随机抽取16个进行试验，测得零件长度如下(单位:cm):解：未知时的区间估计.算得=2.15,s2=0.000293,x2222122(1)(1),,(1)(1)aanSnSnn的0.95置信区间为222(1)~(1),nSn《概率统计》下页结束返回)2(~)11(2)1()1()()(21212122221121nntnnnnSnSnYX下页⒈12,σ22已知时,1-2的1-a置信区间12221212()()~(0,1),XYNnn12221212()()~(0,1)XYNnn122221212()(){||}1,XYPunnaa2212122().XYunna四、两个正态总体均值差的1-a置信区间-(1/4)《概率统计》下页结束返回)2(~)11(2)1()1()()(21212122221121nntnnnnSnSnYX下页⒉12=σ22=σ2，且σ2未知时,1-2的1-a置信区间12221212()()~(0,1)XYNnn12122211221212()()~(2),(1)(1)11()2XYtnnnSnSnnnn121222211221212()(){||(2)}1,(1)(1)11()2XYPtnnnSnSnnnnaa2211221212122(1)(1)11()(2)().2nSnSXYtnnnnnna四、两个正态总体均值差的1-a置信区间-(2/4)《概率统计》下页结束返回查表得0.050.0252(572)(10)2.2281.tt22124611(12.7413.029)2.2281(0.9048,0.3268).1057SS2211221212122(1)(1)11()(2)()2nSnSXYtnnnnnna该蛋白质含量满足正态、等方差条件，试估计1-2所在的范围(取a=0.05)．解：属等方差且方差未知时均值差的区间估计问题.计算得x=12.74，s12=0.308,y=13.029，s22=0.166.1-2的0.95置信区间为下页例3.在甲乙两地抽取同一品种小麦籽粒的样本,测得蛋白质含量为：甲：12.6,13.4,11.9,12.8,13.0;乙：13.1,13.4,12.8,13.5,13.3,12.7,12.4.《概率统计》下页结束返回下页四、两个正态总体方差比的1-a置信区间-(3/4)(了解)⒊1,2都已知时,方差比12/22的1-a置信区间12212111122222121()/~(,),1()niiniiXnFFnnYn12212111122222121()/~(,)1()niiniiXnFFnnYn2211122222/~(1,1)SFFnnS122{}1,PFFFaaa11222211111122121212222112211()()11,.(,)(,)11()()nniiiinniiiiXXnnFnnFnnYYnnaa《概率统计》下页结束返回下页四、两个正态总体方差比的1-a置信区间-(4/4)(了解)⒋1,2都未知时,方差比12/22的1-a置信区间12212111122222121()/~(,)1()niiniiXnFFnnYn2211122222/~(1,1)SFFnnS122{}1,PFFFaaa2211122222/~(1,1),SFFnnS22112221221212211,.(1,1)(1,1)SSSFnnSFnnaa《概率统计》下页结束返回A2/B2的0.95置信区间为0.97510.02521(9,9)(9,9)0.248,(9,9)aFFF求方差比A2/B2的0.95置信区间(设为正态分布).)1,1(1,)1,1(1212122212122221nnFSSnnFSSaa)248.016065.05419.0,03.416065.05419.0(=(0.222,3.601).由a=0.05，查表得下页例4.有两位化验员A,B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定:220.5419,0.6065,ABss解：属两均值都未知时方差比的区间估计问题.0.0252(9,9)(9,9)4.03.aFF