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菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）第三节空间点、直线、平面之间的位置关系菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过_______的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们______________过该点的公共直线．两点不共线有且只有一条菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：(0，π2]．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线______．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________．锐角或直角平行相等或互补菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．若直线a⊄平面α，直线b⊄平面α，则直线a，b是异面直线，这种说法正确吗？【提示】此说法不正确，直线a，b都不在平面α内，但可能都在平面β内．2．若一条直线l不在平面α内，则直线l与平面α是否一定平行？【提示】不一定．直线l与平面α可能平行，也可能相交．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3【解析】②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，与a，b异面矛盾．∴c，b不可能是平行直线．【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）3．(2013·佛山模拟)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【解析】由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）4．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝（42）2＋32＝41，MK＝12DN＝1242＋22＝5，A1M＝42＋42＋22＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.【答案】90°菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）如图7－3－2所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)利用中位线的性质证明GH綊BC即可．(2)法一证明D点在EF、CH确定的平面内．法二延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交证得四点共面．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【尝试解答】(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．(2)法一由BE綊12AF，G为FA中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BE綊12AF，∴B为MA中点，∵BC綊12AD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）已知：空间四边形ABCD(如图7－3－3所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.【证明】(1)连接EF、GH，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝13BC，CH＝13DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(1)如图7－3－4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．【尝试解答】(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．【答案】(1)D(2)②④菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）如图7－3－5所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【解析】由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.【答案】③④菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB的中点，利用三角形的中位线平移BC得到异面直线所成的角．(或其补角)(2012·上海高考改编题)如图7－3－6，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：(1)三棱锥P—ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【尝试解答】(1)S△ABC＝12×2×23＝23，三棱锥P－ABC的体积为V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝22＋22－22×2×2＝34.∴异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2]．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则