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菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）第三节二项式定理菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．二项式定理(1)(a＋b)n＝______________________________________________．(2)第r＋1项，Tr＋1＝____________．(3)第r＋1项的二项式系数为______．2．二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn－kn的关系是____________．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)Crnan－rbrCrnCkn＝Cn－kn菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为．_________________Cn－12n或Cn＋12n(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝______．2n2n－1n2＋1Cn2n菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？2．如何区分二项式系数与各项的系数？【提示】从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项Tk＋1＝Cknan－kbk，(b＋a)n的第k＋1项T′k＋1＝Cknbn－kak.【提示】二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．(人教A版教材习题改编)(1＋x)6的展开式中，二项式系数最大的项是()A．20x3B．15x2C．15x4D．X6【答案】A【解析】二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，∴T4＝C36x3＝20x3.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A．1B．129C．128D．127【解析】令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128.令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【答案】203．(2012·广东高考)(x2＋1x)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)【解析】设第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cr6x2(6－r)x－r＝Cr6x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴x3的系数为C36＝20.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）4．(2012·陕西高考)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．【答案】1【解析】(a＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5a5－rxr.当r＝2时，由题意知C25a3＝10，∴a3＝1，∴a＝1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)写出通项Tr＋1，先求n，再求含x2的项的系数．(2)寻找使x的指数为整数的r值，从而确定有理项．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求含x2的项的系数；(2)求展开式中所有的有理项．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【尝试解答】(1)(3x－123x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crnxn－r3(－12)rx－r3＝Crn(－12)rxn－2r3.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴含x2的项的系数为C210(－12)2＝454.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，且0≤r≤10.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2，0，－2，即r可取2，5，8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(1)(2012·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．(2)设二项式(x－ax)6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．【解析】(1)f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【答案】(1)10(2)2(2)(x－ax)6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCr6x6－32r，∴A＝(－a)2C26，B＝(－a)4C46，由B＝4A，得(－a)4C46＝4(－a)2C26，解之得a＝±2.又a＞0，所以a＝2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(1)(2013·梅州模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3(2)(2012·大纲全国卷)若(x＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C2n＝C6n，确定n的值，求出1x2的系数．【尝试解答】(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝C36x3＝20x3.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【答案】(1)B(2)56(2)由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8.∴Tr＋1＝Cr8·x8－r·(1x)r＝Cr8·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴1x2的系数为C58＝C38＝56.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．第(1)题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C3n＝C7n，而求错n的值．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质．(2)根据题目特征，恰当赋特殊值代换．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1或目标式的值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2013·中山质检)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则(1)a10＋a11＝________；(2)a1＋a2＋…＋a21＝________．【答案】(1)0(2)1【解析】(1)由二项展开式知Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.(2)令x＝0，得a0＝－1，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a21＝0，所以a1＋a2＋…＋a21＝1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12【思路点拨】注意到52能被13整除，化51为52－1，从而运用二项式定理展开512012，由条件求a的值．【尝试解答】512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52·(－1)2011能被13整除．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【答案】D且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）1．本题求解的关键在于将512012变形为(52－1)2012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）【答案】B1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87【解析】1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1∵前10项均能被88整除，∴余数是1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（广东专用）二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr.切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实