线性规划问题中目标函数常见类型梳理7

线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x、y满足约束条件0503xyxyx，则24zxy的最小值为（）A．5B．-6C．10D．-10分析：将目标函数变形可得124zyx，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12yxb在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又(3,3)C，故24zxy的最小值为min234(3)6z，答案选B。点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二直线的斜率型例2.已知实数x、y满足不等式组2240xyx,求函数31yzx的值域.解析：所给的不等式组表示圆224xy的右半圆(含边界)，-553OxyCABL31yzx可理解为过定点(1,3)P，斜率为z的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)xyx上任一点与点(1,3)P的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P和点(0,2)A的直线斜率最大，max2(3)50(1)z．过点P所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)Bab，则过B点的切线方程为4axby．又B在半圆周上，P在切线上，则有22434abab解得2365665ab因此min2633z。综上可知函数的值域为26,53三平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3.已知实数x、y满足10101xyxyy，则22448wxyxy的最值为___________.解析：目标函数2222448(2)(2)wxyxyxy，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：-22Oxy（-1，-3）-2可行域为图中ABC内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，22max(22)(12)25w；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min|221|3222w。四点到直线的距离型例4.已知实数x、y满足2221,42xyuxyxy求的最小值。解析：目标函数222242(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得|2(2)11|4555d，故21695555d同步训练：已知实数x、y满足220240330xyxyxy,则目标函数22zxy的最大值是____。答案：13；五变换问题研究目标函数(-2,1)112Oxy2x+y=1-111Oxy（2，2）x+y-1=0-1ABC例5.（山东潍坊08届高三）已知axyxxy2，且yxz2的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A．31或3B．31C．52或2D．52解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2点和B点分别取得最小值和最大值.由),(aaAxyax得，由yxyx2得B(1，1).∴azz3,3minmax.由题意得.31a故答案B。六综合导数、函数知识类例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(的定义域为xf，部分对应值如下表，)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如右图所示.若两正数a，b满足331)2(abbaf，则的取值范围是（）x－204)(xf1－11A．)34,76(B．)37,53(C．)56,32(D．)3,31(分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422ba，另外注意到33ab的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析：由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(fff，故422ba，而ba,均为正数，可得可行域如图，33ab的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034，最小为点（2，0），此时为533230，所以答案B.如果实数,ab满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是____________.补充：1.如果实数,ab满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是▲．2.已知O是坐标原点，(2,1),(,)APxy满足430352510xyxyx，求||cosOPAOP的最大值。(-3,-3)42Oxy